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Fibonacci et le nombre d’or

Enseigne lumineuse avec effet de spirale dorée

Enseigne lumineuse avec effet de spirale dorée (Alina Kurianova, iStockphoto)

Enseigne lumineuse avec effet de spirale dorée

Enseigne lumineuse avec effet de spirale dorée (Alina Kurianova, iStockphoto)

Sujets
Lisibilité
6,5

Découvre la séquence de Fibonacci et sa relation «dorée» avec les formes dans le monde de la beauté et de la nature.

La beauté est dans l’œil du spectateur

Qu’est-ce qui rend une chose «belle»? La beauté est-elle totalement subjective? Si c’est le cas, pourquoi certaines choses sont-elles considérées comme belles depuis longtemps, même si les tendances ont changé? Existe-t-il un motif dans la nature auquel les humains réagissent inconsciemment?

Les Grecs disaient que toute beauté se résumait aux mathématiques. Philosophes, sociologues, biologistes et mathématiciens ont tous cherché une qualité commune susceptible d’expliquer notre perception de la beauté.

L’une de ces qualités est la symétrie. Les scientifiques ont démontré que les humains sont attirés par les motifs symétriques. Même les bébés préfèrent regarder des images de visages symétriques plutôt que des visages non symétriques! Mais la symétrie ne suffit pas à expliquer pourquoi les humains trouvent certaines choses belles. Alors qu’est-ce qui influence notre perception de la beauté?

Papillon morpho bleu sur une fleur
Papillon morpho bleu sur une fleur (Source: M W via Pixabay).
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On voit ici une photographie en couleurs d’un insecte dont les deux ailes présentent des motifs dans des tons de bleu. Les motifs des ailes gauche et droite sont des miroirs l’un de l’autre.
Les ailes du papillon sont bleu foncé sur le dessus, près de sa tête, et deviennent bleu marine au centre, près de son thorax, puis bleu vif. Le bord inférieur des ailes présente une épaisse bande noire, avec des rangées de points blancs.
Entre ses ailes, le papillon a un mince thorax noir et de longues antennes. Il est perché sur une fleur rouge brillant avec une grosse étamine jaune.

Il s’avère que les Grecs avaient raison au sujet de la beauté et des mathématiques. Il existe un élément commun à la plupart des choses que les humains décrivent comme belles. Selon les mathématiciens, depuis l’Antiquité grecque et égyptienne, cet élément est un rapport de 1:1,618. C’est ce qu’on appelle le «nombre d’or».

Les nombres de Fibonacci

D’où vient ce «nombre d’or»? Le rapport est basé sur une suite de nombres connue sous le nom de nombres de Fibonacci, ou suite de Fibonacci. Celle-ci a été introduite par le mathématicien Leonardo Bonacci vers l’an 1202.

Le savais-tu?

Leonardo Bonacci s’est fait connaître sous le nom de Leonardo de Pise parce qu’il était originaire de Pise. Il était mieux connu sous le nom de Fibonacci, qui signifie «fils de Bonacci» en italien. On ne l’appelait pas Fibonacci de son vivant.

Fibonacci était l’un des plus importants mathématiciens du Moyen Âge. Il a introduit le système de numération arabe dans le monde occidental grâce à son livre Liber Abaci. Il s’agit du même système numérique que nous utilisons encore aujourd’hui.

Dans le même livre, Fibonacci a présenté son célèbre problème du lapin:

Un homme a placé un couple de lapins dans un lieu entouré d’un mur. Combien de couples de lapins peuvent être produits à partir de ce couple en un an si l’on suppose que chaque couple engendre chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif à partir du deuxième mois?

(p. 283-284, traduit du latin original)

Sa solution à ce problème a mené à une série de nombres. Les deux premiers nombres sont 0 et 1, et chaque nombre suivant est la somme des deux nombres qui le précèdent:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, …

C’est la suite de Fibonacci. Les nombres individuels de cette suite sont appelés nombres de Fibonacci.

La suite de Fibonacci peut également être exprimée à l’aide de cette équation:

Fn = F(n-1) + F(n-2)

où n est supérieur à 1 (n > 1).

Cette suite de nombres peut sembler insignifiante. Mais elle devient plus intéressante lorsque l’on divise chaque nombre par celui qui le précède.

Par exemple: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13

Pour ces exemples, les réponses seraient: 1,000, 2,000, 1,500, 1,667, 1,625 et 1,615.

Rapports des sept premières paires de nombres de Fibonacci.
Rapports des sept premières paires de nombres de Fibonacci (©2022 Parlons sciences).
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L’image montre un graphique à barres de couleur avec les nombres de 0 à 2,0 sur l’axe des y et les rapports 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 sur l’axe des x.
De gauche à droite: la barre étiquetée 1/1 est violet pâle et a une hauteur de 1,0. La barre étiquetée 2/1 est dorée et atteint 2,0. La barre étiquetée 3/2 est violette et atteint 1,5. La barre étiquetée 5/3 est violet foncé et atteint 1,667. La barre 8/5 est orange et atteint 1,6. La barre 13/8 est turquoise et atteint 1,625. La dernière barre étiquetée 21/13 est bleu vif et atteint 1,615. Ces rapports sont écrits au centre de chaque barre.
Une ligne pointillée s’étend le long du graphique, au niveau de 1,618033988749895. Elle est marquée du symbole de phi, soit un ovale horizontal traversé d’une ligne verticale en son centre.

Le savais-tu?

Lorsque les élèves examinent la relation entre un terme et le suivant, ils effectuent un type de raisonnement appelé raisonnement récursif.

Le nombre d’or 

Plus les nombres de Fibonacci sont grands, plus le rapport entre chaque paire de nombres se rapproche de 1,618033988749895. Ce nombre est appelé phi. Il peut également être représenté par le symbole Φ, la 21e lettre de l’alphabet grec.

Phi est le nombre d’or. Il possède également d’autres propriétés mathématiques inhabituelles.

Le savais-tu?

Le nombre d’or est également connu sous le nom de section dorée, de proportion dorée et de divine proportion.

On peut également trouver le nombre d’or en utilisant deux quantités, comme les longueurs de deux segments de ligne.

Deux quantités sont dans le nombre d’or si leur rapport est le même que le rapport entre leur somme et la plus grande des deux quantités :

Rapports de segments de ligne dans le nombre d’or
Rapports de segments de ligne dans le nombre d’or (©2022 Parlons sciences).
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L’illustration en couleur montre des segments de ligne et une équation mathématique.
En haut se trouve une longue bande noire étiquetée «Segment de ligne». En dessous se trouve une bande bleue plus courte étiquetée «Segment long». À droite, une bande verte encore plus courte est étiquetée «Segment court». Lorsqu’elles sont placées bout à bout, les bandes bleue et verte ont la même longueur que la bande noire.
L’équation se trouve sous cette illustration. À gauche, les mots «Segment long» en bleu sont divisés par les mots «Segment court» en vert. À droite, on trouve un signe d’égalité. Ensuite, les mots «Segment de ligne» en noir sont divisés par les mots «Segment long» en bleu. Cette division est suivie d’un autre signe d’égalité. Ensuite, 1 + la racine carrée de 5 est divisé par 2. Cette opération est suivie d’un autre signe d’égalité. À droite, la réponse est 1,61803...

Un rectangle d’or fonctionne de la même manière.

Un rectangle d’or est un rectangle dont le côté long est égal à a + b et le côté court à a. Il s’agit de toute la zone colorée du diagramme.

Si on coupe une section carrée de façon à ce que chaque côté soit égal au côté le plus court, on obtient le carré violet pâle à gauche. Le morceau qui reste a le même rapport des longueurs latérales que le rectangle d’origine. Il s’agit de la zone rose à droite.

Le rapport entre les côtés a et b est Φ ou 1,618..., comme tu peux le voir dans l’équation ci-dessous:


Rectangle d’or.
Rectangle d’or (Source: Ahecht [domaine public] via Wikimedia Commons). 
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L’illustration montre un diagramme en couleur d’un rectangle divisé en un carré violet pâle et un plus petit rectangle rose.Les côtés supérieur et gauche du carré sont chacun marqués d’un a bleu, en minuscule et italique. Le côté supérieur du plus petit rectangle est marqué d’un b rouge, en minuscule et italique. Le côté long de gauche est marqué d’un a, en rouge et italique. Tout le côté inférieur du plus grand rectangle est étiqueté a + b, en vert et italique.

On peut développer ce motif en ajoutant un carré plus grand au côté long (a + b) d’un rectangle. On peut ensuite faire la même chose avec le rectangle qui résulte de cette combinaison.

Tu peux voir le motif des carrés et des rectangles dans ce diagramme.

Multiples rectangles d’or.
Multiples rectangles d’or. (Parlons sciences utilisant une image de primo-piano via iStockphoto.)
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L’illustration en noir et blanc montre un rectangle divisé en carrés et en rectangles plus petits. Ceux-ci deviennent plus petits à mesure qu’ils se déplacent autour de l’image, vers un point situé dans le quadrant inférieur droit. Chaque carré est étiqueté avec des mesures.
Le côté court du plus grand rectangle est étiqueté a. La première section du côté long est également étiquetée a. La deuxième section, qui forme le côté court d’un plus petit rectangle à l’intérieur du premier, est étiquetée b.
À l’intérieur du rectangle, le plus grand carré est étiqueté 34 × 34. À droite de ce carré se trouve un rectangle vertical. Celui-ci est divisé en un carré étiqueté 21 × 21 et un autre rectangle horizontal plus petit.
Le troisième rectangle est à nouveau divisé. Le carré de droite est étiqueté 13 × 13. Le rectangle vertical est à nouveau divisé en un carré étiqueté 8 × 8 et un rectangle horizontal qui est à nouveau divisé.
Le carré suivant est étiqueté 5 × 5. À sa droite, un autre rectangle vertical contient un carré étiqueté 3 × 3 et un plus petit rectangle horizontal, qui contient à son tour un carré étiqueté 2 × 2. Le plus petit carré n’est pas étiqueté, mais ce motif semble se perpétuer, se divisant en formes de plus en plus petites.

On peut développer le rectangle d’or encore davantage en ajoutant une ligne qui forme un quart de cercle dans chaque carré.

Ce diagramme montre que les lignes se connectent pour former une spirale.

Chaque carré est aussi étiqueté avec un nombre qui indique la longueur de ses côtés. Ce sont les mêmes nombres que ceux de la suite de Fibonacci! C’est ce qu’on appelle la spirale de Fibonacci.

Le nombre d’or peut également former une spirale.
Le nombre d’or peut également former une spirale. (©2022 Parlons sciences.)
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L’illustration en noir et blanc montre un rectangle divisé en carrés et en rectangles plus petits, sur lequel une ligne spirale de couleur bleue est superposée.
Le plus grand rectangle est divisé en plusieurs formes plus petites. La plus grande, à gauche, est un carré marqué du chiffre 34. La ligne bleue superposée s’incurve du coin inférieur gauche au coin supérieur droit, formant un quart de cercle.
À droite du carré se trouve un rectangle vertical. Il est divisé en un carré marqué du chiffre 21 et un autre rectangle horizontal plus petit. Un autre quart de cercle est superposé sur le carré marqué du chiffre 21, depuis le coin supérieur gauche au coin inférieur droit.
Le troisième rectangle est à nouveau divisé. Le carré de droite est marqué du chiffre 13. Une ligne bleue incurvée du coin supérieur droit au coin inférieur gauche y est superposée.
Le rectangle vertical est à nouveau divisé en un carré marqué du chiffre 8 et un rectangle horizontal qui est à nouveau divisé. La ligne bleue continue de s’incurver sur ces formes.
Le carré suivant est marqué du chiffre 5. À sa droite, un autre rectangle vertical contient un carré marqué du chiffre 3 et un plus petit rectangle horizontal, qui contient à son tour un carré marqué du chiffre 2. La ligne bleue continue de s’incurver sur ces formes.
Le plus petit carré n’est pas étiqueté, mais c’est l’endroit où la spirale bleue se termine en une courbe serrée. Le motif semble se perpétuer, se divisant en formes de plus en plus petites, la spirale devenant de plus en plus serrée.

La spirale de Fibonacci et la spirale d’or

Les termes «spirale de Fibonacci» et «spirale d’or» sont souvent utilisés de manière interchangeable. Mais ces deux spirales sont légèrement différentes.

Une spirale de Fibonacci est réalisée par la création d’une spirale de carrés dont la taille augmente en fonction des nombres de la suite de Fibonacci. Ainsi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. Tu peux observer cela dans le GIF animé ci-dessous.

Animation of a Fibonacci sequence forming a spiral

Comment fabriquer une spirale de Fibonacci (©2022 Parlons sciences).

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Voici un GIF animé d’une spirale qui s’agrandit avec des carrés de plus en plus grands de différentes couleurs.
Le premier carré est minuscule et bleu, superposé d’une ligne blanche incurvée du coin inférieur gauche au coin supérieur droit. Le deuxième carré apparaît au-dessus. Il est vert et beaucoup plus grand, et la ligne s’incurve du coin inférieur droit vers le coin supérieur gauche. Le troisième carré est rouge et encore plus grand. Il apparaît à gauche des autres carrés, et la ligne s’incurve du coin supérieur droit vers le coin inférieur gauche. Le quatrième carré apparaît en violet sous les autres carrés, avec une ligne allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. Le cinquième carré est orange et apparaît à droite, avec une ligne allant du coin inférieur gauche au coin supérieur droit. Le sixième carré apparaît au-dessus des autres, en rose, avec une ligne allant du coin inférieur droit au coin supérieur gauche. Le dernier carré est si grand qu’il occupe plus de la moitié de la surface de l’image et remplit tout l’espace à gauche du reste des carrés. Il est bleu avec une ligne incurvée qui le traverse du coin supérieur droit vers le coin inférieur gauche.
Lorsque tous les carrés sont réunis, les lignes courbes qui les traversent forment une spirale. Cette spirale se développe à partir d’un minuscule carré blanc dans la section inférieure droite de l’image.

Une spirale d’or, par contre, est créée par l’imbrication de rectangles d’or de plus en plus petits dans un grand rectangle d’or. Observe la différence dans le GIF ci-dessous.

Animation of a Fibonacci sequence forming a spiral

Comment fabriquer une spirale d’or (©2022 Parlons sciences).

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On voit ici un GIF animé de rectangles et de carrés de plus en plus petits, apparaissant les uns sur les autres, suivant le motif d’une spirale.
Le premier rectangle est bleu et occupe toute la surface de l’image. Il est traversé par une ligne blanche incurvée dans le coin supérieur gauche. La deuxième forme est un rectangle rose qui recouvre la partie droite du rectangle bleu, de sorte que la section bleue est maintenant de forme carrée. Elle comporte une ligne blanche incurvée traversant le coin supérieur droit. La troisième forme est un rectangle orange qui recouvre la partie inférieure du rectangle rose, de sorte que la section rose forme un carré. Le coin inférieur droit est traversé par une ligne blanche incurvée. Le quatrième est un rectangle violet qui recouvre la partie gauche du rectangle orange, créant ainsi un carré orange. Viennent ensuite un rectangle rouge formant un carré violet et un rectangle vert formant un carré rouge. Enfin, un petit carré bleu apparaît à côté d’un carré blanc de la même taille.
Lorsque le GIF est terminé, toutes les lignes blanches incurvées forment une spirale qui s’enroule dans le dernier carré blanc dans le quadrant inférieur droit du panneau.

Ces spirales te semblent-elles familières? Eh bien, c’est normal! On peut observer le même motif dans la nature.

Alerte aux idées fausses

Il convient de noter que les spirales que l’on voit dans les objets naturels ne correspondent pas exactement au nombre d’or, mais elles s’en rapprochent.

Spirale de Fibonacci sur un tournesol.
Spirale de Fibonacci sur un tournesol (Parlons sciences utilisant une image de Damian Pawlos via iStockphoto).
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Cette image est une photographie en couleurs du centre d’un tournesol, sur lequel est superposée une spirale bleue.
La fleur a des pétales jaune vif. Son centre est constitué de minuscules structures pointues, d’un jaune profond, densément regroupées en un cercle. La spirale montre que les structures pointues sont disposées selon un motif semblable à une spirale de Fibonacci.

Spirale de Fibonacci à l’intérieur d’une coquille de nautile.
Spirale de Fibonacci à l’intérieur d’une coquille de nautile (Parlons sciences utilisant une image de duncan1890 via iStockphoto).
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Cette image est une photographie en couleurs d’une coquille coupée en deux pour montrer l’intérieur, avec une spirale rouge qui y est superposée.
Les cloisons de la coquille s’incurvent autour d’un point central, devenant de plus en plus larges vers le bord extérieur. Cette structure est divisée en sections incurvées, en forme de coin, dont la taille augmente également à partir du point central. La spirale démontre que la coquille suit le motif d’une spirale de Fibonacci.

Spirale de Fibonacci sur la galaxie Messier 101 surnommée la galaxie du Moulinet.
Spirale de Fibonacci sur la galaxie Messier 101 surnommée la galaxie du Moulinet (Parlons sciences utilisant une image de l’Agence spatiale européenne et de la NASA [CC BY 3.0] via Wikimedia Commons).
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Cette image est une photographie en couleurs d’une forme tourbillonnante et vaporeuse dans l’espace, sur laquelle est superposée une spirale rouge.
L’arrière-plan est noir et parsemé de points blancs et dorés. Le centre du tourbillon est de couleur or pâle, avec de fines lignes de couleur or plus foncé. Des queues blanches vaporeuses s’incurvent depuis le centre vers l’espace. Ces bandes de blanc translucide sont ponctuées d’amas de blanc brillant.
La spirale rouge superposée à la photographie montre que cette galaxie suit un motif semblable à une spirale de Fibonacci.

Le nombre d’or peut aussi être utilisé avec d’autres formes. Il est possible de trouver des nombres d’or dans des motifs impliquant des cercles, des triangles, des pentagones et d’autres formes.

D’autres formes avec leur nombre d’or.
D’autres formes avec leur nombre d’or (Parlons sciences utilisant une image de primo-piano via iStockphoto).
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Voici un diagramme de triangles, de pentagones, de carrés et de cercles qui se croisent et sur lesquels des lignes bleues sont superposées.
Le plus grand triangle est aigu et contient sept autres triangles plus petits. Son côté gauche est recouvert d’une ligne bleue, marquée 1,618. La ligne bleue tourne le coin et continue sur son côté inférieur, marqué du chiffre 1. Ce triangle est divisé en un triangle isocèle et un triangle scalène. Le triangle scalène est à son tour divisé en un autre triangle aigu et un autre triangle isocèle. La ligne bleue continue autour du côté long, puis sur le côté court du triangle aigu. Ce triangle est à nouveau divisé en un autre triangle aigu et un autre triangle isocèle. La ligne bleue continue le long de la base du triangle aigu, qui est à nouveau divisé en un autre triangle aigu et un autre triangle isocèle. La ligne bleue continue le long de cette base et le triangle est à nouveau divisé. La ligne bleue se termine en formant un angle serré le long de la base du plus petit triangle aigu. Au total, la ligne bleue forme une sorte de spirale, avec une série d’angles aigus et de segments droits qui deviennent de plus en plus courts et se rapprochent d’un point situé dans la section inférieure droite du plus grand triangle.
Le plus grand pentagone est étiqueté 8. Son côté inférieur est recouvert d’une ligne bleue. À l’intérieur de celui-ci, un pentagone plus petit est étiqueté 5 et la ligne bleue continue le long d’un de ses côtés. À l’intérieur de ce pentagone se trouvent des pentagones plus petits marqués des chiffres 3 et 2, où la ligne continue le long de l’un de leurs côtés. Deux pentagones encore plus petits ne comportent aucune étiquette, mais ils suivent le même motif. Tous les segments de la ligne bleue forment une spirale constituée d’angles obtus et de segments droits qui raccourcissent et se rapprochent d’un point situé dans la section inférieure droite du plus grand pentagone.

Le plus grand carré est étiqueté 8, tandis qu’un plus petit, qui lui est accolé à droite, est étiqueté 5. Une ligne bleue est tracée depuis le coin supérieur gauche du grand carré vers le coin supérieur gauche du petit carré, formant une pente vers la droite. Des carrés de plus en plus petits, étiquetés 3, 2 et 1, suivent le même motif, et la ligne bleue continue à descendre en ligne droite jusqu’au plus petit carré, situé à l’extrême droite.
Le plus grand cercle est étiqueté d = 8. Une ligne bleue couvre la partie supérieure gauche de la circonférence. À l’intérieur de celle-ci, des cercles plus petits sont étiquetés 5, 3, 2 et 1. La ligne bleue continue le long d’une partie de la circonférence de chaque cercle, formant une spirale. Celle-ci s’enroule jusqu’à son plus petit point dans la section supérieure droite du plus grand cercle.

Alors, si tu crois que le nombre d’or rend les choses plus belles, cela te regarde. Mais on peut peut-être convenir que la suite de Fibonacci et le nombre d’or sont mathématiquement intéressants. Ils peuvent aussi nous montrer une nouvelle façon de regarder la nature et l’art.

En savoir plus

Les 12 fondamentaux (7 /12) : Du Rectangle d'Or à la Spirale d'Or (2022)
Cette vidéo (7min 56s) de la chaîne Mariaud Philippe démontre comment dessiner un spirale d’or à partir d’un rectangle d’or.

La suite de Fibonacci (2016)
Cette vidéo (7min 21s) de la chaîne Nat Geo France offre une explication simple de la suite de Fibonacci.

Et si ton visage correspondait au Nombre d’Or (2021)
Cette vidéo (8min 52s) de la chaîne SYMPA explique le nombre d’or et sa relation avec la beauté et la nature.

Le nombre d'or - Micmaths (2014)
Cette vidéo (12min 50s) de la chaîne Mickaël Launay explique le nombre d’or, la suite de Fibonacci, le rectangle d’or et la spirale d’or.

Le NOMBRE D'OR dans les LOGOS, l'ARCHITECTURE etc. (2020)
Cette vidéo (13min 4s) de la chaîne Mysteria explique l’application du nombre d’or dans les logos, l’art et l’architecture.

Références

Be Smart (2021). The Golden Ratio: Is It Myth or Math? YouTube.

Huffman, C. J. (n.d.). Mathematical Treasure: Fibonacci's Liber Abaci. Mathematical Association of America.

Mann, A. (Nov 25, 2019). Phi: The Golden RatioLiveScience.

Phyllotaxis (n.d.). Fibonacci Numbers - Golden Angle

Roos, D. (Jun 16, 2021). Why Do We Get So Much Pleasure From Symmetry? HowStuffWorks.

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