Les mathématiques qui font fonctionner le GPS
![La Terre avec des positions](/sites/default/files/2021-12/planet-earth-with-red-map-pin.jpg)
La Terre avec des positions (Pure Imagination, iStockphoto)
![La Terre avec des positions](/sites/default/files/2021-12/planet-earth-with-red-map-pin.jpg)
La Terre avec des positions (Pure Imagination, iStockphoto)
Quels sont les liens avec mon programme d'études?
Renseigne-toi sur l’histoire et les mathématiques derrière les systèmes de Géolocalisation Par Satellite.
![gps_on_phone Smartphone on a car dashboard showing Google maps navigation](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2021-12/gps_on_phone.jpg?itok=oCW2o0MN)
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La photo montre un téléphone intelligent fixé au tableau de bord d’une voiture. Sur le téléphone, tu peux voir une carte indiquant l’itinéraire à suivre pour se rendre à un endroit.
Les GPS sont utiles dans nos téléphones, mais ils sont aussi importants pour les navires, les avions, les ambulances et bien plus encore. Cependant, les mathématiques, la science et l’histoire de cette technologie demeurent un mystère pour beaucoup d’entre nous. Comment un système qui s’intègre à un téléphone intelligent peut-il localiser instantanément ton emplacement?
L’histoire du GPS
Dans les années 1950, des chercheuses et des chercheurs ont développé le premier système de navigation par satellite à des fins militaires. Dans les années 1980, après plusieurs décennies d’améliorations, les GPS ont commencé à être utilisés par le grand public. Le système est devenu pleinement fonctionnel en 1994. Le gouvernement des États-Unis possède et entretient le système de Géolocalisation Par Satelliteque nous utilisons partout en Amérique du Nord.
![Gladys_West_and_Sam_Smith Gladys West and Sam Smith look over data from the Global Positioning System](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2021-12/Gladys_West_and_Sam_Smith.jpg?itok=A131faMA)
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L’image est en fait une photo en noir et blanc de Sam Smith et Gladys West. Sam Smith est un homme blanc d’âge moyen en complet veston. Gladys est une femme noire d’âge moyen, également en tenue de ville. Ils se tiennent debout dans une salle devant un bureau couvert de documents. Stylo à la main, Gladys pointe quelque chose sur l’une des feuilles de papier. Sam regarde ce qu’elle lui montre. Un très grand globe terrestre sur un piédestal se trouve à côté de Gladys.
Attention aux fausses idées!
La Terre n’est pas une sphère parfaite. Elle présente des reliefs et Gladys Mae West a contribué à créer une représentation plus réaliste d’elle.
Roger Easton, Ivan Getting et Bradford Parkinson (en anglais) ont également joué un rôle clé dans le développement du GPS. Ces physiciens et ingénieurs ont élaboré des moyens de localiser les satellites et les emplacements sur la Terre.
Comment fonctionnent les GPS?
Avant le développement des GPS, les gens utilisaient plusieurs techniques de navigation différentes. Les marins utilisaient souvent la position des étoiles dans le ciel pour savoir dans quelle direction aller.
Q1: Quels problèmes pourraient survenir avec l’utilisation des étoiles pour naviguer?
Les techniques de navigation aident les gens à trouver leur latitude et leur longitude. Les lignes de longitude vont du nord au sud. La ligne de longitude 0º passe par Greenwich, en Angleterre. Les lignes de latitude vont d’est en ouest. La ligne de latitude 0º est l’Équateur. En sachant ta longitude et ta latitude, tu peux connaître ta position sur le globe.
![Les lignes de longitude et de latitude sur la Terre Les lignes de longitude et de latitude sur la Terre](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2022-01/latitude_et_longitude.png?itok=wzjusNVM)
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Voici quatre illustrations de la Terre qui montrent la position et la direction des lignes de longitude et de latitude.
En haut à gauche, la planète a des lignes verticales blanches qui l’encerclent. Ce sont les lignes de longitude.
En bas à gauche, tu vois la Terre depuis le pôle Nord (vue de haut en bas) . Les lignes de longitude sont tracées à l’aide de lignes blanches qui s’étendent en rayons vers l’extérieur à partir du pôle Nord. Les lignes sont annotées et augmentent par bons graduels de dix degrés. Le côté gauche de la Terre est l’hémisphère ouest et le côté droit de la Terre est l’hémisphère est. Le milieu de la Terre est traversé verticalement par une ligne appelée le méridien de Greenwich.
En haut à droite, la planète est entourée de lignes horizontales parallèles. Ce sont les lignes de latitude.
En bas à droite, l’illustration montre une vue latérale de la Terre. Les lignes de latitude sont dessinées à l’aide de lignes blanches parallèles. Les lignes sont annotées et augmentent par bons graduels de dix degrés. La partie supérieure de la Terre est l’hémisphère nord alors que la partie inférieure de la Terre est l’hémisphère sud. Une ligne horizontale appelée Équateur traverse le centre de la Terre.
![canada_lat Map of Canada showing lines of longitude and latitude](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2021-12/canada_lat.png?itok=y8Q4bEcF)
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Voici une carte du Canada sur laquelle sont superposées les lignes de latitude et de longitude. Les lignes de latitude sont colorées en rouge et les lignes de longitude en bleu. Les grandes villes canadiennes sont également identifiées sur la carte.
Q2: À quelle latitude se trouve Winnipeg? À quelle longitude se trouve Hamilton?
![GPS-satellites GPS Satellites orbiting the Earth](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2021-12/GPS-satellites.jpg?itok=tR0g19OJ)
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Voici une illustration en couleur de la Terre dans l’espace. Environ 20 petits satellites orbitent autour de la Terre. La direction de leur mouvement est indiquée par des sillons blancs derrière chaque satellite.
![gps_signals Satellite sending information to a receiver on a phone](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2021-12/gps_signals.png?itok=XFOstOOI)
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L’illustration montre un satellite et un téléphone portable.
Le satellite se trouve dans la partie supérieure gauche de l’image. Des lignes en demi-cercle rayonnent vers le bas indiquant que le satellite transmet un signal vers la Terre. Le téléphone intelligent se trouve dans la partie inférieure et centrale de l’image. Des lignes en demi-cercle rayonnent vers le haut indiquant que le téléphone envoie un signal au satellite. Une petite image d’une punaise de carte et une voiture sont reliées par une ligne pour indiquer que le téléphone utilise les informations pour les applications de cartographie et les systèmes de navigation des véhicules.
Un récepteur utilise la formule suivante :
Distance = vitesse du signal x temporisation de signal
La vitesse du signal est la vitesse de la lumière (environ 300 000 000 m/s). La temporisation de signal est le temps que met le signal à voyager du satellite jusqu’au récepteur. En multipliant ces deux nombres, on obtient la distance entre le satellite et le récepteur.
Par exemple, imagine qu’un signal met 0,005 seconde à voyager depuis un satellite jusqu’à ton téléphone.
Distance = 300 000 000 m/s x 0,005 s = 1 500 000 mètres
Nous savons donc que le satellite se trouve à 1,5 million de mètres ou 1500 kilomètres du récepteur.
Q3: À quelle distance d’un récepteur se trouve un satellite s’il faut 0,02 seconde à un signal voyageant à la vitesse de la lumière pour atteindre le récepteur? Donne ta réponse en mètres et en kilomètres.
Le savais-tu?
Les GPS s’appuient sur la théorie de la relativité d’Albert Einstein. Les informations temporelles transmises par les satellites sont ajustées pour tenir compte de la relativité. C’est ce qui ajoute à la précision du système.
Cependant, savoir à quelle distance tu te situes par rapport à un satellite ne te donne pas ta position. Pour y parvenir, les GPS s’appuient sur la trilatération.
La trilatération
La trilatération est un moyen de situer un point d’après la mesure de trois autres points qui le séparent. Pour fonctionner de cette manière, plusieurs satellites doivent se connecter au récepteur. On calcule la distance entre le récepteur et plusieurs satellites. La trilatération est une méthode qui consiste à utiliser ces mesures de distance pour localiser un emplacement.
Attention aux fausses idées!
Le GPS s’appuie sur la trilatération et non sur la triangulation. La trilatération implique de mesurer des distances. Elle est parfois confondue avec la triangulation qui implique la mesure d’angle.
Voici un exemple simple du fonctionnement de la trilatération. Imagine que tu te trouves sur un terrain de soccer. Imagine ensuite que tu essaies de trouver un ballon sur le terrain en te basant sur les indices suivants.
- Le ballon est à 20 m du coin inférieur droit.
- Il est aussi à 40 m du centre du terrain.
- Enfin, le ballon est à 15 m du centre du but de gauche.
Avec ces trois indices, arrives-tu à localiser le ballon de soccer?
![Un terrain de soccer sur lequel on a tracé un cercle avec un rayon de 20 m Un terrain de soccer sur lequel on a tracé un cercle avec un rayon de 20 m](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2022-01/soccer_field1%20%282%29.png?itok=oja_twBH)
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Voici une illustration d’un terrain de soccer. En bas à droite de l’illustration, un cercle bleu a été tracé. Son centre se trouve au coin inférieur droit du terrain de soccer. Le rayon du cercle est de 20 mètres.
![Un terrain de soccer sur lequel s’entrecroisent un cercle de 20 m de rayon et un cercle de 40 m de rayon Un terrain de soccer sur lequel s’entrecroisent un cercle de 20 m de rayon et un cercle de 40 m de rayon](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2022-01/soccer_field2%20%281%29.png?itok=fy-TtZ2J)
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Voici une illustration d’un terrain de soccer. En bas à droite de l’illustration, un cercle bleu a été tracé. Son centre se trouve au coin inférieur droit du terrain de soccer. Le rayon du cercle est de 20 mètres. Au centre de l’illustration, un cercle rose a été tracé. Son centre se situe au centre du terrain de soccer. Le rayon du cercle est de 40 mètres.
![Un terrain de soccer sur lequel des cercles dont les rayons mesurent 20, 40 et 15 mètres sont dessinés Un terrain de soccer sur lequel des cercles dont les rayons mesurent 20, 40 et 15 mètres sont dessinés](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2022-01/soccer_field3%20%281%29.png?itok=HZd34XUr)
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Voici une illustration d’un terrain de soccer. En bas à droite de l’illustration, un cercle bleu a été tracé. Son centre se trouve au coin inférieur droit du terrain de soccer. Le rayon du cercle est de 20 mètres. Au centre de l’illustration, un cercle rose a été tracé. Son centre se situe au centre du terrain de soccer. Le rayon du cercle est de 40 mètres. Au centre droit de l’illustration, un cercle orange a été tracé. Son centre se situe dans la zone de but. Le rayon du cercle est de 15 mètres. Une image d’un ballon de soccer a été placée à l’endroit où les contours des trois cercles se croisent.
![Trilateration-in-3D-left-and-2D-right Model of satellites using trilateration to find a location](/sites/default/files/styles/width_800px/public/2021-12/Trilateration-in-3D-left-and-2D-right.png?itok=B0VIIfNw)
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Voici une illustration de trilatération en deux et en trois dimensions.
À gauche, une image montre la Terre et quatre satellites en orbite. Les satellites sont de couleur vert, gris, orange et bleu. Chaque satellite est entouré d’une sphère de la même couleur. Les quatre sphères s’entrecroisent légèrement.
À droite, une image présente trois satellites. Les satellites sont de couleur bleu, orange et vert. Chaque satellite se trouve au centre d’un cercle de sa propre couleur. Les trois cercles s’entrecroisent en un point.
Visionne la vidéo ci-dessous pour en apprendre encore plus.
(Remarque : la vidéo suivante apparaît avec une vignette qui indique généralement une "vidéo cassée" sur YouTube, mais la vidéo fonctionne correctement).
Comme le montre l’exemple ci-dessus, la trilatération ne nécessite que trois satellites. Dans ce cas, pourquoi avons-nous besoin d’un quatrième satellite? Le quatrième satellite corrige les erreurs de l’horloge du récepteur. Cela ajoute à la précision du GPS. À l’heure actuelle, un téléphone intelligent doté d’un GPS peut connaître ta position à environ 5 mètres près.
De nos jours, il est normal d’utiliser la navigation par satellite au quotidien. Les applications de cartographie nous permettent de retrouver notre chemin, peu importe où nous sommes dans le monde. Nous utilisons les systèmes de localisation par satellite pour de nombreuses activités sociales, comme pour indiquer notre position géographique sur des publications ou encore la géocachette*. Au départ, les secouristes utilisaient les systèmes de localisation par satellite pour se rendre rapidement sur le lieu d’une urgence et intervenir en cas de catastrophes. Les systèmes GPS ont aussi aidé les avions à arriver à destination en toute sécurité. Les scientifiques utilisent les systèmes GPS pour prévoir la météo. Et ce ne sont que quelques-unes des façons dont nous utilisons cette technologie.
La prochaine fois que tu utiliseras un système GPS, prends une minute pour repenser à ce qui rend cette technologie possible.
*Cette page est disponible en français. Dans le coin supérieur droit, il y a un menu déroulant qui te permet de changer la langue en français.
RÉPONSES
- Tu ne peux pas voir les étoiles par temps nuageux ou pendant la journée.
- Winnipeg se trouve à 50 degrés de latitude nord. Hamilton est située à 80 degrés de longitude ouest.
- 6 000 000 mètres ou 6 000 kilomètres
En savoir plus
Comment les GPS Fonctionnent : Une Navigation Satellite Assez Simple (2019)
Vidéo Youtube (10min 03s) qui explique comment les GPS fonctionnent à l'aide de graphiques.
Le géocaching, une chasse au trésor techno encore en vogue (2019)
Un article provenant de Radio Canada sur le geocaching.
Comment fonctionne la triangulation ? - C'est pas sorcier (2016)
Vidéo Youtube (1min 18s) qui explique comment fonctionne la triangulation.
Système de coordonnées (2018)
Cette page informatique provenant de Statistique Canada fournit une définition détaillée du système de coordonnées (longitude et latitude.)
Références
AllAboutGPS (n.d.). The Global Positioning System (GPS). Retrieved from https://allaboutgps.weebly.com/math-behind-the-gps.html#
GISGeography (2021). How GPS Receivers Work: Trilateration vs. Triangulation. Retrieved from https://gisgeography.com/trilateration-triangulation-gps/
NASA Science: Space Place (2019). How does GPS work? Retrieved from https://spaceplace.nasa.gov/gps/en/
National Coordination Office for Space-Based Positioning, Navigation, and Timing (2021). GPS Accuracy. Retrieved from https://www.gps.gov/systems/gps/performance/accuracy/
NOAA (n.d.) The Global Positioning System: Global Positioning Tutorial. Retrieved from https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_geodesy/geo09_gps.html
Singh, I. (2017, Jun. 17). Who invented the GPS? People behind the Global Positioning System. Geo Awesomeness. Retrieved from https://geoawesomeness.com/who-invented-the-gps/