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Somme de Gauss

Format
Parlons sciences
Lisibilité
3.73

Découvre l’histoire et les mathématiques derrière la somme de Gauss.

Somme de Gauss

La somme de Gauss est nommée en l’honneur de Johann Karl Friedrich Gauss. C’était un mathématicien allemand. Gauss est l’un des penseurs mathématiques les plus influents de l’histoire. Selon une légende, Gauss aurait découvert une nouvelle méthode pour additionner les suites à un très jeune âge. La légende raconte que son enseignant de mathématiques aurait demandé à la classe d’additionner les nombres de 1 à 100. En d’autres mots, l’enseignant souhaitait qu’ils additionnent 1 + 2 + 3 + 4 + 5… jusqu’à 100!

L’enseignant a présumé que cela allait exiger beaucoup de temps de la part des élèves. Imagine tout le temps que cela te prendrait d’additionner tous les nombres de 1 à 100, un à un. Pourtant, Gauss a répondu 5 050 presque immédiatement. 

Cette histoire n’est peut-être pas entièrement vraie. Mais elle nous rappelle que les plus jeunes élèves sont parfois ceux qui découvrent de nouveaux modèles mathématiques. Maintenant, réfléchissons un peu au modèle que Gauss a utilisé pour résoudre le problème rapidement. 

Le truc employé par Gauss pour résoudre le problème est que l’ordre dans lequel nous additionnons les nombres n’a pas d’importance. Peu importe l’ordre suivi, nous obtiendrons le même résultat. 

Par exemple:

2 + 3 donne le même résultat que 3 + 2…

Il est possible de réorganiser les nombres de 1 à 100 d’une manière intelligente. Cela peut nous aider à les additionner plus rapidement. Voici un exemple simple qui vous montrera comment fonctionne cette stratégie.

Imagine devoir calculer la somme de 1 à 10.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ?

Tu pourrais regrouper les nombres en paires. D’abord, tu peux additionner le premier nombre avec le dernier nombre. Ensuite, tu peux additionner le deuxième nombre avec l’avant-dernier nombre. Tu peux continuer de suivre cette séquence. 

Modèle illustrant l’addition des paires de 1 à 10
Modèle illustrant l’addition des paires de 1 à 10. (©2021 Parlons sciences).

À cette étape, tu as peut-être constaté quelque chose d’étrange. Chacune de ces paires équivaut à 11. Ainsi, nous pouvons voir notre problème sous cet angle : 

(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = ?

(11) + (11) + (11) + (11) + (11) = ?

Comme nous avons 5 paires, notre réponse serait :

11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 × 5 = 55

Voilà qui commence à être intéressant!

Voyons cela d’un autre œil. Plutôt que d’aligner les nombres en une rangée, aligne les nombres en deux rangées. Dans la première rangée, les nombres augmentent. Dans la deuxième rangée, les nombres diminuent. Voici ce que nous obtenons pour 1 à 10.

Two rows of numbers. Top row one to ten. Bottom row ten to one
Version textuelle

Dans la rangée supérieure, les chiffres de 1 à 10 sont alignés en ordre croissant. Dans la rangée inférieure, les nombres de 10 à 1 sont alignés en ordre décroissant.

 

Additionne maintenant chaque colonne.

Two rows of numbers of one to ten summed
Version textuelle

La somme de chacune des colonnes donne 11.

 

La somme de tous les nombres ci-dessus représente le nombre de paires multiplié par la somme de chaque paire. Mais nous voulons uniquement la somme d’une rangée, et non des deux rangées. Nous devons donc diviser notre réponse par 2.

Nous pouvons écrire cette opération ainsi : 

Somme de Gauss
Version textuelle

La somme équivaut au nombre de paires multiplié par la somme de chaque paire, et ce total est divisé par 2. Dans notre cas, 10 est multiplié par 11 et ensuite divisé par 2. Cela donne la somme finale de 55.

 

Nous pouvons utiliser l’algèbre pour illustrer ce modèle. L’algèbre emploie des lettres et d’autres symboles pour représenter des nombres dans des équations. Nous pouvons utiliser la lettre n pour représenter la quantité de nombres contenus dans notre liste. Il s’agit du plus grand nombre. Dans notre exemple, n serait 10. Le nombre de paires correspondrait à ce nombre divisé par 2. Tu constateras que la grandeur de la paire équivaut au nombre de paires plus 1. Nous pouvons donc employer n pour écrire : 

(nombre de paires) × (somme de chaque paire) = n/2 × (n +1)

Mais rappelle-toi, comme tout à l’heure, nous voulons uniquement la somme d’une rangée, et non des deux. Alors nous divisons la formule ci-dessus par 2 et obtenons :

Sum of a series algebraic equation
Version textuelle

n à l’extérieur d’une parenthèse suivi de n plus 1 à l’intérieur d’une parenthèse. Ceci est divisé par 2.

 

Pouvons-nous faire la même opération pour un total qui est un nombre impair, par exemple 67? Essaie par toi-même avant de regarder la réponse ci-dessous.

Question:

1 + 2 + 3 + 4 ….. 66 + 67 =?

Les solutions sont au bas de la page.

Gauss s’est servi de la même méthode pour additionner tous les nombres de 1 à 100. Il a réalisé qu’il pouvait faire des paires avec tous les nombres. Il avait donc 50 paires, chacune représentant une somme de 101. Il pouvait ensuite multiplier 50 × 101 pour parvenir à sa réponse : 5 050. 

Modèle illustrant l’addition des paires de 1 à 100
Modèle illustrant l’addition des paires de 1 à 100 (©2021 Parlons sciences). 

Applications concrètes

Ce problème est un exemple de solution pour trouver la somme d’une suite arithmétique. Une suite est un ensemble de nombres ordonnés. Dans une suite arithmétique, la différence entre deux nombres consécutifs est la même. Nous pouvons utiliser la méthode de Gauss pour obtenir la somme de toute suite arithmétique.

Suite de pointes de pizza qui sont retirées
Suite de pointes de pizza qui sont retirées (Source : Lebazele via iStockphoto).

 

Trouver la somme d’une suite peut aider les gens à résoudre une variété de problèmes concrets. Des entreprises trouvent la somme des suites pour estimer les coûts ou les revenus. La somme d’une suite arithmétique permet même de calculer le tarif d’un trajet en taxi. Tu commences par un tarif de base. Ton coût total augmente du même montant chaque minute. 

Trouver la somme d’une suite est aussi une question informatique répandue. Les informaticiens et informaticiennes emploient la méthode de Gauss pour y répondre. La question des termes manquants est une question technique d’entrevue courante. Il faut utiliser la méthode de Gauss pour y répondre. Bon nombre de ces applications utilisent des formules d’apparence compliquée. Toutefois, elles n’emploient en réalité que la méthode de Gauss pour trouver la somme d’une suite. 

 

SOLUTION

1 + 2 + 3 + 4……66 + 67 = ?

n = 67, n + 1 = 68

n(n + 1)/2

67 x 68/2

= 2 278

 

En savoir plus

Somme de termes d'une suite arithmétique

Cette vidéo (8 min 47 s) de jaicompris Maths démontre une résolution de problème concret utilisant une suite arithmétique.

Les suites - A quoi ça sert ?

Cette vidéo ( 4 min 27 s) de À quoi ça sert les maths présente plusieurs applications concrètes des suites dans la vie courante.

Références

Better Explained. (n.d.). Techniques for Adding the Numbers 1 to 100

Falbo, C. (n.d.). Carl Friedrich Gauss. Math Odyssey 2000. 

Hayes, B. (2018, June 25). Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote. Bit Player

Hayes, B. (2006). Gauss’s Day of Reckoning. American Scientist

MathBits Notebook. (n.d.). Gauss on Arithmetic Sequences.