Les triangles et la trigonométrie

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Quels sont les liens avec mon programme d'études?

Découvre des applications pratiques de la géométrie et de la trigonométrie.

Tout le monde aime trouver une solution à un problème. Pense aux fois où tu as résolu un problème en utilisant les fractions pour t’assurer que tout le monde ait une part égale de gâteau ou de pizza. Maintenant, imagine-toi dans les temps anciens.

Comment aurais-tu fait pour calculer les limites de ton terrain ou pour couper parfaitement des morceaux de pierre afin de créer une pyramide ou un temple? Quels outils aurais-tu utilisés et qu’aurais-tu eu à savoir sur la géométrie? La géométrie et l’algèbre sont deux méthodes mathématiques qui nous aident à résoudre des problèmes.

Le mot géométrie vient des mots grecs , qui signifie « terre » et metron, qui signifie « mesure ». Tout comme ce mot, une grande partie du vocabulaire mathématique moderne nous vient du grec ancien. Toutefois, les historiennes et historiens trouvent maintenant des preuves montrant que les principes de géométrie étaient utilisés bien avant. C’est ce que l’on constate grâce à un artéfact vieux de 3700 ans du musée d’Istanbul qui témoigne de l’utilisation de la géométrie pour diviser les terrains.

Ancient clay tablet dating back to the Old Babylonian period around 1900 to 1600 BCE.
Une ancienne tablette d’argile qui remonte à la période paléobabylonienne environ 1900 à 1600 ans avant notre ère. Elle montre comment le créateur ou la créatrice s’est servi de ce que l’on appelle aujourd’hui les triplets pythagoriciens pour faire des angles droits précis. (Source : Daniel.mansfield via Wikimedia Commons [CC BY-SA 4.0]).

La géométrie est l’étude de différents espaces. Mais quelle est son importance? Comment la géométrie est-elle appliquée en dehors des cours de mathématiques? Dans ce document d’information, nous examinerons ces questions en utilisant uniquement le plus simple des, le triangle.

Les rudiments des triangles

Commençons par le commencement. Un triangle a trois côtés et trois angles, d’où son nom « tri-angle », c’est-à-dire « trois angles ». Nous pouvons classer les triangles selon la longueur de leurs côtés et le degré de leurs angles intérieurs.

Des types de triangles
Des types de triangles (@2021 Parlons sciences)
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Les triangles peuvent être regroupés en fonction de leurs côtés et de leurs angles. Les triangles scalènes n’ont pas de côtés égaux ni d’angles égaux. Les triangles isocèles ont deux côtés égaux et deux angles égaux. Les triangles équilatéraux ont trois côtés égaux et trois angles égaux. Les triangles acutangles ont trois angles inférieurs à 90 degrés. Les triangles obtusangles ont un angle de plus de 90 degrés. Les triangles rectangles ont un angle droit. Certains triangles peuvent entrer dans plus d’une catégorie.

Comparer les angles et les côtés des triangles, ce n’est pas ce qu’il y a de plus intéressant. Là où ça devient intéressant, c’est lorsque l’on commence à voir des modèles qui s’appliquent dans certaines situations. Par exemple, si nous faisons la somme des trois angles intérieurs d’un triangle, nous obtenons toujours un total de 180 degrés. Il s’agit de la forme la plus simple de la règle des angles intérieurs des polygones. Tu peux tenter l’expérience à la maison. Prends n’importe quel triangle, mesure ses trois angles et additionne-les pour le constater par toi-même!

Diagram showing the sum of the interior angles of a triangle
Un exemple illustrant que la somme des angles intérieurs d’un triangle, dans ce cas-ci un triangle équilatéral, équivaut à 180 degrés (©2021 Parlons Sciences)

Le théorème de Pythagore 

Le théorème de Pythagore est l’une des formules mathématiques les plus connues. Ce modèle a été observé pour la première fois il y a plus de 2000 ans. Une vraie personne, nommée Pythagore a formulé une règle qui est encore enseignée aujourd’hui à tous les élèves du monde entier!

Le de Pythagore s’applique à tous les triangles rectangles. Avant de découvrir la formule, visionne la vidéo à gauche pour mieux comprendre la logique qui se cache derrière. Si tu as encore des doutes, regarde la démonstration à droite! Mais avant toute chose, tu dois savoir que l’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle et qu’il est toujours le côté opposé à l’angle droit. 

Le théorème de Pythagore : démonstration rapide et claire (2020) de Maths chez soi (2 m 56 s.).
Une démonstration du théorème de Pythagore à l’aide de l’eau (2020) par (34 s.).

Alors, en quoi la formule a2 + b2 = c2 est-elle utile? Il existe de nombreuses applications concrètes. Examinons-en quelques-unes.

Comment pourrais-tu vérifier qu’une parcelle de terrain est parfaitement rectangulaire? C’est-à-dire, comment pourrais-tu t’assurer que ses quatre angles sont de 90 degrés? Sur papier, tu pourrais utiliser un rapporteur d’angles, mais lorsqu’il est question de grandes surfaces, ce ne serait pas possible.

Et si tu coupais le rectangle en deux, dans le sens de la diagonale. Quelles formes obtiendrais-tu?

Rectangle with a diagonal line extending across. The short sides are identified as and the long sides as b. The right angles are also identified
Un rectangle traversé d’un bout à l’autre par une ligne diagonale. Les petits côtés sont identifiés par la lettre a et les grands côtés par b. Les angles droits sont également identifiés à l’aide de carrés (©2021 Parlons Sciences).

C'est exact, tu obtiens deux triangles rectangles dont les côtés a et b sont de même longueur. En connaissant les longueurs des côtés a et b, tu peux te servir du théorème de Pythagore pour obtenir la longueur de l’hypoténuse, qui est en fait ladu rectangle. En fait, quelle que soit la forme du rectangle que tu as au départ, si tu le sépares par une diagonale, tu obtiens toujours deux triangles rectangles. Mais comment peux-tu t’assurer que le rectangle possède des angles droits? Tu dois simplement mesurer la distance entre les sommets opposés et elle devrait être égale!

Les arpenteuses-géomètres et arpenteurs-géomètres le font à l’aide d’un tachéomètre électronique (ou station totale). Cet équipement utilise des signaux infrarouges et des systèmes GPS pour mesurer avec précision les angles et les grandes distances. Les arpenteuses-géomètres et arpenteurs-géomètres installent une cible appelée prisme à l’endroit qu’ils désirent mesurer. Le prisme contient un réflecteur. Un rayon infrarouge est dirigé vers le prisme qui le renvoie vers le tachéomètre. Les ordinateurs peuvent ensuite mesurer précisément les angles et les distances.

Left: Surveyor using a total station on a tripod. Right: Prism set in the centre of a target sign
À gauche : Une arpenteuse-géomètre se sert d’un tachéomètre sur un trépied. À droite : Un prisme placé au centre d’un panneau cible (Sources : Harri Blomberg [CC-BY-SA 3.0] via Wikimedia CommonsJfoster7991 [CC-BY-SA 4.0] via Wikimedia Commons).

La trigonométrie

Les triangles sont si fascinants qu’une branche des mathématiques existe uniquement pour mieux les comprendre! La trigonométrie porte sur les relations entre les longueurs des côtés et la valeur des angles d’un triangle. Le terme « trigonométrie » peut sembler complexe, mais analysons-le un instant. Le mot « trigonométrie » vient des mots grecs anciens tri⁠, « trois », gonio, « angle », et métrie, « mesure ».

En trigonométrie, on note trois principales relations, ou fonctions. Elles permettent, à l’aide de deux côtés d’un triangle, de calculer la longueur du troisième. Ces fonctions sont sinus, cosinus et tangente. Elles sont généralement abrégées comme suit : sincos et tan.

Les fonctions de base de la trigonométrie
Les fonctions de base de la trigonométrie (@2021 Parlons sciences).
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Chaque côté d’un triangle rectangle se voit attribuer un nom particulier. Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse. Tu peux choisir l’un des autres angles intérieurs et l’appeler 𝚹. Le côté qui se trouve à côté de 𝚹 s’appelle le côté adjacent. Le côté qui est opposé à 𝚹 s’appelle le côté opposé.

La triangulation

En cartographie et en arpentage, la triangulation permet de déterminer une distance inconnue sans la mesurer directement. On y parvient à l’aide de triangles imaginaires! La triangulation est très utile lorsque vient le temps de mesurer de grands objets. Grimper tout en haut d’un grand arbre pour en déterminer sa hauteur est plutôt dangereux. Toutefois, en t’éloignant de l’arbre et en prenant quelques mesures, tu peux arriver à déterminer sa hauteur.

Les hauteurs et les angles impliqués dans la mesure d’un arbre
Les hauteurs et les angles impliqués dans la mesure d’un arbre (©2021 Parlons sciences utilisant une image de vecteezy).
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Pour mesurer un arbre, il nous faut quelques distances et angles importants. Il y a la distance entre toi et l’arbre, que nous pouvons appeler a. C’est le côté adjacent du triangle. Il y a la distance entre la hauteur de tes yeux et le sommet de l’arbre, que nous pouvons appeler b. C’est le côté opposé du triangle. Il y a la ligne de vue entre ton œil et le sommet de l’arbre, que nous pouvons appeler c. C’est l’hypoténuse du triangle. Enfin, il y a la distance entre le sol et la hauteur de tes yeux, que nous pouvons appeler eLa hauteur de l’arbre h peut être calculée en additionnant b et e.

Comment mesurer la hauteur d’un arbre.

  1. Mesure la distance entre toi et l’arbre. Il s’agit de aa est le côté adjacent du triangle.
  2. Trouve l’angle entre la hauteur de tes yeux et le sommet de l’arbre. Il s’agit de l’angle θ. Tu peux déterminer cet angle à l’aide d’un clinomètre (ou inclinomètre) ou d’une application pour téléphone intelligent.
  3. Pour calculer b, c’est-à-dire le côté opposé, nous devons utiliser la formule suivante :
    tan θ = b/a
    et utiliser ensuite la règle de trois (ou produit croisé) pour déterminer b.
    b = tan θ
    Si tu ne connais pas la trigonométrie, tu peux le faire à l’aide d’une calculatrice scientifique. Pour connaître la valeur de « tan θ », saisis la valeur de ton angle et appuie sur le bouton « tan ».
  4. Une fois que tu as calculé b, n’oublie pas d’ajouter la distance entre le sol et ton œil e pour trouver la hauteur de l’arbre h.

Autre fait intéressant, deux triangles rectangles peuvent être semblables. En mathématiques, deux formes sont semblables s’il suffit de les retourner, de les faire pivoter ou de les redimensionner pour obtenir exactement le même triangle.

Regarde les deux triangles semblables ci-dessous. Puisqu’ils sont semblables, nous pouvons dire :

Δpqr ∼ ΔPQR 

Le symbole ~ signifie qu’il existe une similitude mathématique.

Le triangle pqr est semblable au triangle PQR
Le triangle pqr est semblable au triangle PQR (©Parlons sciences).
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Deux triangles rectangles sont représentés. Le triangle bleu à gauche est deux fois plus petit que le triangle vert à droite. Le triangle bleu possède les sommets p, q et r et les longueurs de ses côtés sont de pq=3, qr=4 et pr=5. Le triangle vert possède les sommets P, Q et R et les longueurs de ses côtés sont de PQ=6, QR=x et PR=y. ∠pqr ~ ∠PQR, ∠qpr ~ ∠QPR and ∠prq ~ ∠PRQ.

Tu peux voir que tous les angles sont identiques, mais que les côtés ne le sont pas. La règle intéressante sur laquelle on peut s’appuyer pour les triangles semblables est que tous leurs côtés sont proportionnels. En d’autres mots, en comparant les côtés des triangles sous forme de fractions, on obtient des valeurs égales.

pq = PQ
qr    QR

qr = QR
rp    RP

rp = RP
pq   PQ

En remplaçant par des valeurs, pour le même côté de chaque triangle, comme pour les côtés pq et PQ, on obtient :

pq = 3 = 1
PQ   6    2

Ce rapport commun s’appelle le facteur d’échelle. Dans ce cas-ci, le facteur d’échelle est de 2.

Q1. À l’aide du facteur d’échelle, détermine les valeurs de x et y du schéma ci-dessus. La réponse se trouve à la fin.

La similitude et le facteur d’échelle peuvent aussi s’appliquer à d’autres figures que les triangles.

Par exemple, ils peuvent te permettre d’utiliser une méthode encore plus simple pour mesurer un grand arbre. En premier lieu, trouve un bâton environ de la même longueur que ton bras. Ensuite, tends ton bras droit devant toi et dresse le bâton pour former un angle droit avec ton bras. En regardant le bâton et l’arbre en même temps, recule pour t’éloigner de l’arbre jusqu’à ce que la pointe du bâton soit au même niveau que le sommet de l’arbre. La distance que tu as parcourue pour t’éloigner de l’arbre, plus la hauteur du sol à ton bras, correspond à la hauteur de l’arbre!

Pourquoi? Regarde le schéma ci-dessous. Peux-tu apercevoir les deux triangles semblables? Maintenant, remarques-tu que le triangle formé par le bâton et ton bras correspond à un triangle isocèle, car ton bras et le bâton ont la même longueur? Rappelle-toi que les triangles isocèles ont deux côtés égaux et deux angles égaux. En créant des triangles semblables, tu peux mesurer de très grandes choses!

Tu peux aussi voir comment on y parvient en visionnant cette vidéo.

Mesure un arbre à l’aide des deux méthodes. Compare tes résultats. À ton avis, quelle méthode est la plus précise? Pourquoi?

Mesurer la hauteur d’un arbre à l’aide de son bras et d’un bâton
Mesurer la hauteur d’un arbre à l’aide de son bras et d’un bâton (©2021 Parlons sciences utilisant une image de vecteezy).
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Lorsque tu tiens un bâton de la même longueur que ton bras vers le haut en formant un angle droit, et que tu imagines une ligne reliant le haut du bâton à ton épaule, tu obtiens un triangle isocèle. En te tenant à une certaine distance d’un arbre de sorte que le sommet du bâton correspond à la hauteur que le sommet de l’arbre, tu crées un triangle isocèle avec ton corps et l’arbre. Nous pouvons appeler cette distance b. Ce triangle est semblable au triangle que tu as formé avec ton bras et le bâton. Pour calculer la hauteur de l’arbre h, tu dois ajouter la distance b à la distance entre le sol et ton bras a.

La triangulation pour la navigation maritime

Trouver la hauteur d’un objet n’est pas le seul moment où la triangulation s’avère utile. Parlons maintenant de navigation maritime. Imagine un navire qui doit se rendre à un point situé à 500 km à l’est et à 250 km au nord. Dans quelle direction doit-il aller pour parcourir la distance la plus courte possible? Et quelle distance le navire aurait-il à parcourir?

Map showing a ship in the Atlantic Ocean off the coast of Africa
Une carte montrant un bateau dans l’océan Atlantique au large des côtes africaines (Parlons sciences utilisant des images d’un bateau, d’une carte et d’une rose des vents de vecteezy).
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Un bateau navigue en haute mer. Il se trouve à 500 km à l’ouest et à 250 km au sud d’un point où il doit se rendre près de la côte ouest de l’Afrique. Quelle est la distance la plus courte qu’il doit parcourir pour atteindre ce point et à quelle vitesse doit-il se déplacer?

 

Q2. Utilise la trigonométrie pour trouver :

  • la direction vers laquelle le bateau doit naviguer (θ), et
  • la distance jusqu’à la destination (l’hypoténuse). La réponse se trouve à la fin.

Bien sûr, la navigation maritime est un peu plus complexe! Un bon navigateur ou une bonne navigatrice devra tenir compte des courants et des vents, mais la direction principale restera la même. Le ou la capitaine du navire devra ajuster l’itinéraire en fonction de ces variables.

Les triangles et les systèmes d’information géographique

La géométrie joue un rôle important dans les systèmes de positionnement global, mieux connus sous le nom de GPS. Un satellite équipé d’un système GPS s’appuie sur une forme de géométrie qui rappelle celle utilisée dans les calculs du triangle rectangle. Il utilise la position du satellite dans le ciel, l’emplacement de la position GPS sur Terre déterminée par la longitude et la latitude, ainsi que la distance entre cet emplacement et le lieu sur Terre qui correspond à la position du satellite dans le ciel.

La triangulation et l’infographie

Une autre méthode de triangulation consiste à décomposer une surface en triangles. L’image du dauphin ci-dessous en est un bon exemple. Ce type d’image est un maillage triangulaire.

Dolphin drawn using a triangle mesh
Un dauphin dessiné à l’aide du maillage triangulaire (Source : image du domaine public sur Wikimedia Commons).

Les mailles triangulaires sont très répandues en infographie 3D, comme dans les jeux vidéo. Pourquoi? Parce qu’il faut moins de mémoire pour transformer des surfaces en équations triangulaires. Il est aussi plus facile de modifier la forme des triangles que celle des autres formes. De cette façon, les programmeuses et programmeurs peuvent utiliser des logiciels avec des algorithmes préprogrammés pour faire bouger les personnages, sans avoir à réécrire le code à partir de zéro!

RÉPONSES
  1. Réponse à la question sur les triangles semblables :
    Comme le facteur d’échelle est 2, x donnerait 4 x 2 = 8, et y donnerait 5 x 2 = 10
  2. Réponse à la question sur la navigation maritime :
    1. En résolvant l’angle θ.

      Regardons les informations dont nous disposons. Nous pouvons voir que le côté du triangle adjacent à l’angle (θ) est de 500 km et que le côté opposé à θ est de 250 km. Si nous regardons les trois formules de trigonométrie, l’une d’entre elles comporte les termes « opposé » et « adjacent ». tan θ = opposé/adjacent

      En substituant les valeurs, nous obtenons tan θ = 250/500 = 0,5. Alors, avec cette information, comment pouvons-nous déterminer la valeur de l’angle? 

      Pour trouver θ, nous devons prendre l’arc-tangente des deux côtés.

      tan-1 (tan 𝚹) = tan-1(0.5)
      La tan-1 annule la tan, ce qui nous donne :
      𝚹 = tan-1(0.5)
      En utilisant la fonction tan-1 sur une calculatrice, nous obtenons :
      𝚹 = 26,56 degrés.
    2. Réponse pour la distance (hypoténuse).
      Pour cela, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore a2 + b2 = c2.
      Nous savons que a = 250 et que b = 500.
      En substituant les valeurs dans l’équation, nous obtenons :
      c2 = 2502 + 5002.
      c2 = 62 500 + 250 000
      c2 = 312 500
      Pour obtenir la valeur de c, nous faisons la racine carrée de chaque côté.
      √c = √312 500
      c = 559Ainsi, la distance la plus courte que le navire aurait à parcourir serait de 559 km.

En savoir plus

Pourquoi un triangle est-il une forme si solide?
Dans ce document d'information de Parlons sciences, découvrez comment on utilise la force des triangles pour construire des structures solides.

Combien y a-t-il de façons de prouver le théorème de Pythagore ? (2017)
Cette vidéo (5 min. 15 s.) de TedEd avec sous-titres français présente différentes façons de démontrer le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore dans les applications de la vie réelle (2020)
Cette vidéo (4 min. 7 s.) avec sous-titres français de Limitless-X présente comment le théorème de Pythagore est appliqué dans des situations de la vie réelle.

Comment fonctionne la triangulation ?
Cette vidéo (1 min. 18 s.) de C'est pas sorcier explique comment utiliser la triangulation en navigation et géographie. Vous pouvez aussi visionner l’émission complète (26 min. 18 s.) sur la cartographie.

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Découvre le parcours de Ryan en tant qu'arpenteur-géomètre.

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Cette vidéo (1 min. 46 s.) de Ecce Terra présente les tâches du métier d’arpenteur-géomètre.

Références

BC Big Tree (n.d.) Height Measurements. University of British Columbia Faculty of Forestry, retrieved from https://bigtrees.forestry.ubc.ca/measuring-trees/height-measurements/

Brenner, L (2018). How is geometry used in real life? Sciencing.com, retrieved from https://sciencing.com/geometry-used-real-life-8698204.html

Flinn Scientific (2016). How Tall Is That Tree? Retrieved from https://www.flinnsci.com/api/library/Download/98bc4c5dde564b148d00234333ee9762