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Les probabilités

Format
Parlons sciences
Lisibilité
8.97

Quels sont les liens avec mon programme d'études?

Renseignez-vous sur les probabilités, une branche des mathématiques qui nous aide à prédire ce qui pourrait arriver.

Introduction

À la base, les mathématiques décrivent les relations entre des nombres et d’autres quantités mesurables. Elles constituent le langage des sciences. Il est donc essentiel de les comprendre pour bien saisir les concepts appartenant à ce domaine.

Les mathématiques se divisent en de nombreuses branches plus fascinantes les unes que les autres. Dans ce document d'information, nous examinerons comment on s’en sert pour prédire l’avenir. C'est ce qu'on appelle les probabilités. Nous espérons que vous pourrez ainsi voir ce domaine scientifique sous un jour tout à fait nouveau!

Les probabilités

Prenez une pièce de monnaie et jouez à pile ou face — de quel côté pensez-vous qu’elle va tomber? Vous allez sans doute répondre que, si la pièce n’est pas truquée, elle a des chances égales de finir d’un côté ou de l’autre. Si nous formulions cette situation en termes de probabilités, nous pourrions dire que la pièce a une chance sur deux (1/2) de tomber du côté face, et une chance sur deux (1/2) de tomber du côté pile. Vous remarquerez que la somme des probabilités de tous les résultats possibles est toujours égale à un (dans notre exemple, 1/2 + 1/2 = 1), ce qui est une propriété fondamentale de cette branche des mathématiques.

Mais comment pouvons-nous être certains que ces probabilités d’obtenir « pile » ou « face » sont bonnes? Nous pourrions lancer la pièce de nombreuses fois, en consignant le résultat de chaque essai. Supposons que nous la lancions dix fois, en obtenant les résultats « face, pile, face, face, pile, pile, pile, face, pile, pile ». Comme nous avons obtenu quatre fois « face » et six fois « pile », nous pourrions conclure que la probabilité d’obtenir « face » est de 4/10 (0,4) et celle d’obtenir « pile » est de 6/10 (0,6). Ces valeurs sont proches de celle de 5/10 (0,5) que nous attendions pour chacune, mais n’y correspondent pas exactement. Pourquoi? Parce que la seule manière d’obtenir les probabilités prévues serait de lancer la pièce un nombre de fois extrêmement grand (plus on fait d’essais, plus on s’approche de la valeur attendue). Vérifiez-le en classe!

Il est aussi intéressant de combiner les probabilités, en les associant aux principes de la combinatoire. Par exemple, si nous lancions la pièce deux fois de suite, et voulions savoir quelles seraient les chances d’obtenir deux côtés « pile ». Pour le déterminer, il faudrait d’abord prendre la probabilité d’obtenir « pile » avec la première fois (1/2) et la multiplier par la probabilité d’obtenir « pile » la deuxième fois (1/2), ce qui donnerait 1/2 x 1/2 = 1/4.

On peut le confirmer en examinant tous les résultats possibles quand on lance la pièce deux fois.

Possible combinations from flipping two coins
Combinaisons possibles en lançant deux pièces de monnaie (Images de la Monnaie royale canadienne via Wikimedia Commons and Wikimedia Commons).

On peut voir qu’il y a quatre résultats possibles, et qu’un seul est deux côtés « pile »; la probabilité est donc bel et bien de 1/4.

Question 1:

Un fermier accouple une vache blanche et un bœuf noir. Leurs veaux (bébés) ont d’égales chances d’être tout blancs, tout noirs, noirs avec une face blanche ou blancs avec une face noire (présumons qu’il n’y a que quatre possibilités de coloration). La réponse se trouve à la fin du Document d'information

a) Quelle est la probabilité qu’un veau soit tout noir?

b) Quelle est la probabilité que trois veaux de suite soient tout blancs?

Un autre exemple classique des probabilités est ce qu’on a appelé le « problème de l’anniversaire ». Dans votre classe, quelles sont les chances que deux élèves soient nés le même jour? La réponse dépend évidemment du nombre d’élèves dans la classe, mais les possibilités sont beaucoup plus élevées qu’on pourrait le penser.

Il est en fait plus facile de calculer la probabilité de que deux élèves n’aient pas la même date d’anniversaire. Sachant que la somme de la probabilité que deux élèves aient la même date d’anniversaire et de la probabilité que deux élèves n’aient pas la même date d’anniversaire doit nécessairement être égale à « 1 », en connaissant cette dernière probabilité, on pourra déduire la première. Dans le problème qui suit, nous présumerons que l’année en cours n’est pas bissextile, et compte bien 365 jours.

Imaginons d’abord une classe de deux élèves. Comme la première personne peut célébrer son anniversaire n’importe quel jour, la probabilité que l’autre ne la célèbre pas en même temps est de 364/365, puisque sa fête peut être n’importe quelle journée sauf celle de l’anniversaire de la première personne.

La probabilité que ces deux personnes n’aient pas la même date d’anniversaire est donc de 365/365 x 364/365 = 0,9973, ou 99,73 %. Par conséquent, les chances que ces deux élèves célèbrent leur anniversaire le même jour sont de 1 – 0,9973 = 0,0027, ou 0,27 %, ce qui est bien peu.

Et si la classe comptait trois élèves? La première personne peut encore célébrer son anniversaire n’importe quel jour, et la probabilité que la deuxième personne ne le fasse pas en même temps est de 364/365. Les chances que la troisième personne ne soit pas née le même jour que les deux autres passent à 363/365. Donc, la probabilité qu’aucun de ces trois élèves ne célèbre son anniversaire le même jour qu’un autre est de 365/365 x 364/365 x 363/365 = 0,9918. Par conséquent, la probabilité qu’au moins deux de ces trois élèves célèbrent leur anniversaire le même jour est de 1 – 0,9918 = 0,0082, ou 0,82 %.

Avez-vous remarqué la tendance qui se dessine? Pour quatre élèves, la probabilité qu’aucun ne partage la même date d’anniversaire est de 365/365 x 364/365 x 363/365 x 362/365, ce qui permet de déterminer que la chance qu’au moins deux d’entre eux le fassent est d’environ 0,0164, ou 1,64 %. Combien d’élèves faudrait-il avoir dans la classe pour que cette probabilité atteigne 50 %? Maintenant que vous savez comment procéder, tentez de le déterminer vous-même; vous arriverez à 23 élèves, ce qui est bien peu, avouons-le!

Question 2:

Sachant le nombre d’élèves dans votre classe, quelle est la probabilité que deux d’entre vous célèbrent leur anniversaire le même jour?

Est-ce le cas? Posez la question à vos camarades!

Tentez de vérifier cette hypothèse en déterminant cette probabilité dans plusieurs classes — les résultats surprendront tout le monde, y compris vos enseignants! Le calcul des probabilités requiert l’examen de nombreuses possibilités, mais il y a souvent bien des chances que les résultats vous étonnent!

Ma carrière

Anna Szuto

Conseillère en génétique, Service de génétique clinique et métabolique

The Hospital for Sick Children

Le Hospital for Sick Children (l’hôpital pour enfants malades) est un hôpital spécialisé qui offre une gamme complète de soins aux enfants et à leurs familles, des chirurgies complexes jusqu’au traitement des enfants atteints du cancer. Au Service de génétique clinique et métabolique, nous évaluons et traitons les enfants qui ont une maladie génétique ou qui sont à risque d’en avoir une, comme le syndrome de Down et la fibrose kystique.

Les maladies génétiques sont causées par des mutations. Les mutations sont des changements dans l’ADN d’une personne qui peuvent nuire au bon fonctionnement des cellules. Comme le corps humain est une machine complexe, différentes mutations peuvent mener à diverses conditions génétiques, chacune avec des symptômes, des modes de transmission (la façon dont la condition génétique est transmise à la génération suivante), et des pronostics distincts.

Dans le cadre de mon travail de conseillère en génétique, je réponds aux questions des patients et leurs familles sur la possibilité que leurs symptômes soient causés par une maladie génétique, les risques qu’ils aient un enfant avec une maladie génétique ou les probabilités qu’ils aient hérité d'une maladie génétique dont un membre de leur famille est atteint. Pour ce faire, je recueille les antécédents médicaux de mes patients et des membres de leurs familles (ce qu’on appelle les antécédents familiaux). Je donne également des renseignements sur les divers tests génétiques qui permettent de déterminer si mes patients portent une mutation qui cause une maladie et je discute de la prise en charge médicale et des risques et des bénéfices des tests génétiques. J’utilise les renseignements que j’ai recueillis sur les antécédents familiaux et les résultats des tests génétiques pour clarifier les probabilités que mes patients soient porteurs d'une mutation et les risques de récurrence (les probabilités que leurs enfants ou qu'un autre membre de leur famille aient hérité de la même mutation). 

Ce que j’aime le plus de mon travail de conseillère en génétique, c’est de rencontrer de nouvelles familles et de les aider à comprendre, ainsi qu'à s'adapter, aux répercussions qu'une maladie génétique peut avoir sur leur vie personnelle, familiale et culturelle.

Anna Szuto
Anna Szuto (© Anna Szuto. Avec permission).

 

Pleins feux sur l’innovation

Les probabilités et l’énergie éolienne

Depuis des milliers d’années, on utilise l’énergie du vent pour propulser des navires, moudre le grain, pomper l’eau et plus récemment, générer de l’électricité avec des éoliennes. Comme la vitesse et la direction du vent varient selon l’endroit et le jour, les données sur la vitesse du vent sont essentielles pour déterminer quelle quantité d’énergie une éolienne pourrait produire à un endroit donné. Les ingénieurs en aérodynamique utilisent des outils comme des anémomètres (pour mesurer la vitesse du vent) et des systèmes d’enregistrement des données pour recueillir des données sur la vitesse du vent dans un site donné avant d’y installer un grand parc éolien (site où l’on retrouve de multiples éoliennes).

Un graphique de probabilité de la vitesse du vent montre pendant quel pourcentage du temps le vent souffle à une vitesse donnée. La vitesse du vent apparaît sur l’abscisse (axe des x) et la probabilité que le vent souffle à cette vitesse (en pourcentage) est représentée sur l’ordonnée (axe des y) [voir la figure 11]. Comme c’est le cas pour toutes les probabilités, la somme des probabilités est égale à 1 ou à 100 %. Lorsqu’on lit le graphique, il est important de noter que plus la barre est haute, plus les probabilités sont grandes que le vent souffle à la vitesse représentée par cette barre.

Il est important de connaître les fréquences des vitesses du vent lorsque l’on choisit l’emplacement d’une éolienne. Notez les schémas de vitesse du vent à l’emplacement 1 (en bleu) et à l’emplacement 2 (rouge) sur le graphique ci-dessus. Les deux emplacements ont la même vitesse moyenne (5,8 m/s), mais des distributions de fréquence très différentes. Même si la moyenne est la même, l’éolienne de l’emplacement 1 produira probablement plus d’électricité au fil du temps parce que les probabilités sont plus grandes que le vent souffle à une

Vitesse élevée, ce qui permettra à la turbine de produire plus d’électricité.

Pour en apprendre plus sur les schémas de vitesse du vent dans votre région, consultez le site de l’Atlas canadien d’énergie éolienne au http://www.windatlas.ca/index-fr.php.

Graphique de probabilité de la vitesse du vent
Graphique de probabilité de la vitesse du vent (©2020 Parlons sciences).

Solutionnaire

Question 1: Un fermier accouple une vache blanche et un bœuf noir. Leurs veaux ont d’égales chances d’être tout blancs, tout noirs, noirs avec une face blanche ou blancs avec une face noire.

a) Quelle est la probabilité qu’un veau soit tous noir?

Il y a une chance sur quatre (1/4) qu’un veau soit tout noir.

b) Quelle est la probabilité que trois veaux de suite soient tous blancs?

Il y a une chance sur quatre (1/4) qu’un veau soit tout blanc. Pour que trois veaux de suite soient tout blancs, il faut multiplier les chances de chacun d’être de cette couleur :

1/4 x 1/4 x 1/4 = 1 chance sur 64, soit 1/64 ou 0,016 (1,6 %)

 

 

Références

Math is Fun. (n.d.). Probability.

Siegmund, D. O. (n.d.). Probability theory. Encyclopaedia Britannica.

Wolfram MathWorld. (n.d.). Birthday problem. WolframAlpha.