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Les probabilités

Gâteau d'anniversaire

Gâteau d'anniversaire (GMVozd, iStockphoto)

Gâteau d'anniversaire

Gâteau d'anniversaire (GMVozd, iStockphoto)

Format
Parlons sciences
Lisibilité
8.97

Quels sont les liens avec mon programme d'études?

Renseignez-vous sur les probabilités, une branche des mathématiques qui nous aide à prédire ce qui pourrait arriver.

Introduction

À la base, les mathématiques décrivent les relations entre des nombres et d’autres quantités mesurables. Elles constituent le langage des sciences. Il est donc essentiel de les comprendre pour bien saisir les concepts appartenant à ce domaine.

Les mathématiques se divisent en de nombreuses branches plus fascinantes les unes que les autres. Dans ce document d'information, nous examinerons comment on s’en sert pour prédire l’avenir. C'est ce qu'on appelle les probabilités. Nous espérons que vous pourrez ainsi voir ce domaine scientifique sous un jour tout à fait nouveau!

Les probabilités

Prenez une pièce de monnaie et jouez à pile ou face — de quel côté pensez-vous qu’elle va tomber? Vous allez sans doute répondre que, si la pièce n’est pas truquée, elle a des chances égales de finir d’un côté ou de l’autre. Si nous formulions cette situation en termes de probabilités, nous pourrions dire que la pièce a une chance sur deux (1/2) de tomber du côté face, et une chance sur deux (1/2) de tomber du côté pile. Vous remarquerez que la somme des probabilités de tous les résultats possibles est toujours égale à un (dans notre exemple, 1/2 + 1/2 = 1), ce qui est une propriété fondamentale de cette branche des mathématiques.

Mais comment pouvons-nous être certains que ces probabilités d’obtenir « pile » ou « face » sont bonnes? Nous pourrions lancer la pièce de nombreuses fois, en consignant le résultat de chaque essai. Supposons que nous la lancions dix fois, en obtenant les résultats « face, pile, face, face, pile, pile, pile, face, pile, pile ». Comme nous avons obtenu quatre fois « face » et six fois « pile », nous pourrions conclure que la probabilité d’obtenir « face » est de 4/10 (0,4) et celle d’obtenir « pile » est de 6/10 (0,6). Ces valeurs sont proches de celle de 5/10 (0,5) que nous attendions pour chacune, mais n’y correspondent pas exactement. Pourquoi? Parce que la seule manière d’obtenir les probabilités prévues serait de lancer la pièce un nombre de fois extrêmement grand (plus on fait d’essais, plus on s’approche de la valeur attendue). Vérifiez-le en classe!

Il est aussi intéressant de combiner les probabilités, en les associant aux principes de la combinatoire. Par exemple, si nous lancions la pièce deux fois de suite, et voulions savoir quelles seraient les chances d’obtenir deux côtés « pile ». Pour le déterminer, il faudrait d’abord prendre la probabilité d’obtenir « pile » avec la première fois (1/2) et la multiplier par la probabilité d’obtenir « pile » la deuxième fois (1/2), ce qui donnerait 1/2 x 1/2 = 1/4.

On peut le confirmer en examinant tous les résultats possibles quand on lance la pièce deux fois.

Possible combinations from flipping two coins
<p>Combinaisons possibles en lançant deux pièces de monnaie (Images de la Monnaie royale canadienne via <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/File:Toonie_-_back.png">Wikimedia Commons</a> and <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/File:Toonie_-_front.png">Wikimedia Commons</a>).</p>

On peut voir qu’il y a quatre résultats possibles, et qu’un seul est deux côtés « pile »; la probabilité est donc bel et bien de 1/4.

Question 1:

Un fermier accouple une vache blanche et un bœuf noir. Leurs veaux (bébés) ont d’égales chances d’être tout blancs, tout noirs, noirs avec une face blanche ou blancs avec une face noire (présumons qu’il n’y a que quatre possibilités de coloration). La réponse se trouve à la fin du Document d'information

a) Quelle est la probabilité qu’un veau soit tout noir?

b) Quelle est la probabilité que trois veaux de suite soient tout blancs?

Un autre exemple classique des probabilités est ce qu’on a appelé le « problème de l’anniversaire ». Dans votre classe, quelles sont les chances que deux élèves soient nés le même jour? La réponse dépend évidemment du nombre d’élèves dans la classe, mais les possibilités sont beaucoup plus élevées qu’on pourrait le penser.

Il est en fait plus facile de calculer la probabilité de que deux élèves n’aient pas la même date d’anniversaire. Sachant que la somme de la probabilité que deux élèves aient la même date d’anniversaire et de la probabilité que deux élèves n’aient pas la même date d’anniversaire doit nécessairement être égale à « 1 », en connaissant cette dernière probabilité, on pourra déduire la première. Dans le problème qui suit, nous présumerons que l’année en cours n’est pas bissextile, et compte bien 365 jours.

Imaginons d’abord une classe de deux élèves. Comme la première personne peut célébrer son anniversaire n’importe quel jour, la probabilité que l’autre ne la célèbre pas en même temps est de 364/365, puisque sa fête peut être n’importe quelle journée sauf celle de l’anniversaire de la première personne.

La probabilité que ces deux personnes n’aient pas la même date d’anniversaire est donc de 365/365 x 364/365 = 0,9973, ou 99,73 %. Par conséquent, les chances que ces deux élèves célèbrent leur anniversaire le même jour sont de 1 – 0,9973 = 0,0027, ou 0,27 %, ce qui est bien peu.

Et si la classe comptait trois élèves? La première personne peut encore célébrer son anniversaire n’importe quel jour, et la probabilité que la deuxième personne ne le fasse pas en même temps est de 364/365. Les chances que la troisième personne ne soit pas née le même jour que les deux autres passent à 363/365. Donc, la probabilité qu’aucun de ces trois élèves ne célèbre son anniversaire le même jour qu’un autre est de 365/365 x 364/365 x 363/365 = 0,9918. Par conséquent, la probabilité qu’au moins deux de ces trois élèves célèbrent leur anniversaire le même jour est de 1 – 0,9918 = 0,0082, ou 0,82 %.

Avez-vous remarqué la tendance qui se dessine? Pour quatre élèves, la probabilité qu’aucun ne partage la même date d’anniversaire est de 365/365 x 364/365 x 363/365 x 362/365, ce qui permet de déterminer que la chance qu’au moins deux d’entre eux le fassent est d’environ 0,0164, ou 1,64 %. Combien d’élèves faudrait-il avoir dans la classe pour que cette probabilité atteigne 50 %? Maintenant que vous savez comment procéder, tentez de le déterminer vous-même; vous arriverez à 23 élèves, ce qui est bien peu, avouons-le!

Question 2:

Sachant le nombre d’élèves dans votre classe, quelle est la probabilité que deux d’entre vous célèbrent leur anniversaire le même jour?

Est-ce le cas? Posez la question à vos camarades!

Tentez de vérifier cette hypothèse en déterminant cette probabilité dans plusieurs classes — les résultats surprendront tout le monde, y compris vos enseignants! Le calcul des probabilités requiert l’examen de nombreuses possibilités, mais il y a souvent bien des chances que les résultats vous étonnent!

Solutionnaire

Question 1: Un fermier accouple une vache blanche et un bœuf noir. Leurs veaux ont d’égales chances d’être tout blancs, tout noirs, noirs avec une face blanche ou blancs avec une face noire.

a) Quelle est la probabilité qu’un veau soit tous noir?

Il y a une chance sur quatre (1/4) qu’un veau soit tout noir.

b) Quelle est la probabilité que trois veaux de suite soient tous blancs?

Il y a une chance sur quatre (1/4) qu’un veau soit tout blanc. Pour que trois veaux de suite soient tout blancs, il faut multiplier les chances de chacun d’être de cette couleur :

1/4 x 1/4 x 1/4 = 1 chance sur 64, soit 1/64 ou 0,016 (1,6 %)

Références

Math is Fun. (n.d.). Probability.

Siegmund, D. O. (n.d.). Probability theory. Encyclopaedia Britannica.

Wolfram MathWorld. (n.d.). Birthday problem. WolframAlpha.