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La factorisation première

Format
Parlons sciences
Lisibilité
5.51

Apprends ce qu’est la factorisation première et le plus petit commun multiple.

La factorisation première

Certains nombres sont les éléments à la base de tous les autres. On les appelle les nombres premiers. Un nombre premier est un nombre qui ne peut être divisé que par 1 et par lui-même. Donc, il ne peut pas être divisé par un autre nombre sans laisser de reste.

Le nombre 5, par exemple, est un nombre premier, puisqu’on ne peut le diviser en nombres entiers que par 1 et par 5. Le nombre 6 n’est pas un nombre premier, parce que 6 ÷ 2 = 3. Les nombres 2 et 3 sont des facteurs de 6. Un facteur est un nombre qui peut divise parfaitement le nombre donné, c'est-à-dire sans laisser de reste. 

Le savais-tu?

Selon la Conjecture de Goldbach, chaque nombre entier pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. Par exemple, 4 = 2 + 2 et 8 = 3 + 5. Cette conjecture n’a pas encore été prouvée, mais elle a été testée jusqu’à 400 000 000 000 000.

La factorisation première d’un nombre est sa décomposition en facteurs premiers. Trouvons la factorisation première de 12. Comme il ne s’agit pas d’un nombre premier, il a au moins un autre facteur que 1 et lui-même. Par exemple:

3 est un facteur de 12, 
puisque 12 ÷ 3 = 4.
Nous pouvons donc dire que 12 = 4 x 3.

 S’agit-il d’une factorisation première? 

Si 3 est bien un nombre premier, 4 ne l’est pas.

Puisque 4 = 2 x 2,
nous pouvons donc dire que 12 = 2 x 2 x 3.

Les trois nombres du côté droit de cette équation sont maintenant bel et bien premiers; nous avons donc réussi à trouver la factorisation première de 12!

Tu peux déterminer la factorisation première de n’importe quel nombre en employant cette méthode. Arriveras-tu à trouver celle de 8, puis de 30? Essaie de le faire toi-même avant d’aller voir les réponses (les solutions se trouvent au bas de cette page).

Question 1 : Quelle est la factorisation première de 8?

8 =

Question 2 : Quelle est la factorisation première de 30?

30 = 

Utiliser un diagramme de division peut aider à trouver la factorisation première d’un nombre. Regarde les deux exemples ci-dessous pour apprendre comment utiliser un diagramme de division. Commence par le bas du diagramme en divisant le nombre concerné par le plus petit nombre premier possible. Les nombres de la factorisation première seront ceux écrits à la gauche.

Exemple 1

neuf est divisible par trois
Équation - Version textuelle

Division à crochet illustrant comment neuf est divisible par trois.

Exemple 2

Série de longues divisions divisant  240 en nombres premiers
Équation - Version textuelle

Série de longues divisions divisant  240 en nombres premiers. Dans ce cas, 240 peut être divisé par 2, 2, 2, 3 et 5.

Il n’y a toujours qu’une seule solution possible aux problèmes de factorisation première. En d’autres termes, il n’y a toujours qu’une seule façon de décomposer un nombre en facteurs premiers. 

Factorisation première et cybersécurité

Savais-tu que tu utilises la factorisation première chaque fois que tu achètes quelque chose en ligne ou que tu te connectes à un compte bancaire? Les technologies de chiffrement, aussi appelé cryptage, utilisent la factorisation première pour protéger les informations sensibles. Ces systèmes utilisent le fait qu’il est très difficile de factoriser de grands nombres en nombres premiers. Les mathématiciens et mathématiciennes travaillent sur ce problème depuis des siècles. Cependant, ils et elles n’ont toujours pas de méthode efficace pour déduire que 2 244 354 est (2 x 3 x 7 x 53 437).

L'algorithme de chiffrement RSA tire avantage de ce problème mathématique. Selon cette méthode, deux grands nombres premiers sont multipliés pour obtenir un nombre premier encore plus grand. Ce nouveau nombre est si grand qu'aucun ordinateur ne peut déterminer sa factorisation première. Le grand nombre premier est public et peut être vu par n'importe qui. Cependant, les ordinateurs ont besoin des deux nombres premiers originaux pour décrypter le message. 

Cette technologie est largement utilisée depuis des décennies. Cependant, les nouveaux ordinateurs quantiques sont en train de changer le domaine de la cryptographie. Les nouveaux ordinateurs quantiques peuvent factoriser les nombres premiers beaucoup plus rapidement que les ordinateurs ordinaires. Les chercheurs doivent maintenant trouver des moyens d’adapter les méthodes de chiffrement à l’informatique quantique.

Le plus petit commun multiple 

La factorisation première peut nous aider à trouver le plus petit commun multiple (PPCM). Le PPCM est le plus petit nombre positif qui est un multiple de deux nombres ou plus. 

Comment trouver le plus petit multiple de deux nombres ? Eh bien, nous pourrions dresser une liste de tous les multiples de chaque nombre jusqu'à ce que nous en trouvions un en commun. Cependant, cela prendrait beaucoup de temps. La factorisation primaire peut nous aider à trouver le PPCM rapidement et avec précision. 

Pour trouver le PPCM de deux nombres, il faut d’abord en écrire la factorisation première. Prenons les chiffres 6 et 28 comme exemple. Leurs factorisations premières sont:

6 = 2 x 3

28 = 2 x 2 x 7

Ensuite, tu regardes combien de fois chaque nombre premier apparaît dans la factorisation du premier nombre. Et combien de fois c'est un facteur du deuxième nombre. 

D'abord, tu écris le nombre de fois que le nombre premier apparaît dans la factorisation où il apparaît le plus souvent. Dans l’exemple ci-dessus, le nombre premier 2 apparaît une fois dans la factorisation de 6. Et le 2 apparaît deux fois dans celle de 28. Comme celle où on le trouve le plus de fois en compte deux, on écrirait: 

2 x 2

 

Ensuite, le prochain nombre premier, 3, apparaît une fois dans la factorisation de 6, et zéro fois dans celle de 28. Comme celle où on le trouve le plus de fois en compte un, on écrirait 3 une fois, comme suit. 

 2 x 2 x 3

 

Finalement, le nombre premier 7 apparaît zéro fois dans la factorisation de 6, et une fois dans celle de 28. Comme celle où on le trouve le plus de fois en compte un, on écrirait 7 une fois, comme suit. 

2 x 2 x 3 x 7

 

Répète cette méthode jusqu'à ce que tu aies trouvé tous les facteurs premiers des deux nombres. Puis, on peut trouver le PPCM en les multipliant.

2 x 2 x 3 x 7 = 84

Donc, le PPCM de 6 et de 28 est égal à 2 x 2 x 3 x 7 = 84. Tu peux utiliser cette méthode pour trouver le PPCM de n’importe quelle paire de nombres. 

Question 3 : Trouve la factorisation première de 18 et de 75, puis trouve le PPCM de 18 et 75 grâce à celle-ci.

Le plus petit commun multiple dans la vie de tous les jours

On trouve souvent le PPCM pour additionner ou soustraire des fractions. Nous avons besoin d'un dénominateur commun pour additionner ou soustraire des fractions. Le dénominateur commun est en fait juste le PPCM de tous les dénominateurs. Par exemple, disons que tu veux additionner :

Fractions showing one sixth plus one twenty-eighth
Équation - Version textuelle

Un sixième plus un vingt-huitième

Dans ce cas, le dénominateur commun est le PPCM de 6 et 28. Nous pourrions utiliser la méthode que nous venons d'apprendre pour déterminer que le PPCM est 84. Nous pourrions alors utiliser ce dénominateur commun pour additionner les fractions. 

Answer for addition of one sixth and one twenty-eighth
Image - Text Version

Un sixième plus un vingt-huitième est égal à quatorze quatre-vingt-quatrièmes plus trois quatre-vingt-quatrièmes, ce qui correspond à dix-sept quatre-vingt-quatrièmes.

Trouver le PPCM peut aussi t'aider à résoudre beaucoup d'autres problèmes du monde réel. Par exemple, le PPCM peut t'aider à déterminer quand des événements se produiront en même temps. Imaginons deux personnes qui courent autour d'une piste en même temps. La personne A prend 12 minutes pour faire un tour de piste. La personne B prend 18 minutes. Nous voulons savoir combien de temps il faudra à ces deux personnes pour se rencontrer au point de départ. La réponse à cette question est le PPCM de 12 et 18. Nous pouvons utiliser notre méthode pour déterminer que ces personnes se rencontreront au point de départ après 36 minutes de course. 

Trouver le multiple le moins commun peut aussi nous aider quand nous achetons plusieurs articles qui viennent en groupe. Par exemple, imagine que tu prépares un barbecue. Tu veux avoir le même nombre de pain et de tranches de fromage. Cependant, les pains viennent en sacs de 8 et le fromage en paquets de 6. Combien de paquets de fromage et sacs de pain devrais-tu acheter afin qu’il ne te reste pas de pain, ni fromage seuls?

SOLUTIONS

Question 1:

2 est un facteur de 8. 

Puisque 8 ÷ 2 = 4, 

nous pouvons donc dire que 8 = 4 x 2.

Mais 4 n’est pas un nombre premier, puisque 4 = 2 x 2.

Nous pouvons donc dire que 8 = 2 x 2 x 2.


 

Question 2:

2 est un facteur de 30. 

Puisque 30 ÷ 2 = 15, 

nous pouvons donc dire que 30 = 2 x 15.

Mais 15 n’est pas un nombre premier, puisque 15 = 3 x 5.

Nous pouvons donc dire que 30 = 2 x 3 x 5.


 

Question 3:

La factorisation première de 18 = 2 x 3 x 3 et la factorisation première de 75 = 3 x 5 x 5.

De 18, on peut donc prendre deux 3 et un 2. 

2 x 3 x 3

Et de 75, comme nous avons déjà un 3, on n’a pas besoin d’en prendre un autre, mais il faut prendre les deux 5.

5 x 5

Si on met le tout ensemble, on obtient : 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 450.

Problème des hamburgers

Tu devrais acheter 3 sacs de pain et 4 paquets de fromage afin de pouvoir faire 24 hamburgers au fromage.

 

En savoir plus

Nombre premier - Définition et Explications
Cette page de Techno-Science.net présente les nombres premiers et leurs applications.

Décomposition d'un nombre en facteurs premiers
Cette section de Khan Academy francophone présente la théorie et des exercices en lien avec la factorisation première.

Exercices de factorisation

Cette page de Mathématiques faciles offre une série d’exercices sur la factorisation première.

Plus Petit Commun Multiple

Cette page de Alloprof présente la théorie et différentes méthodes pour trouver le PPCM.

Animation nombres premiers et factorisation

Cette page offre une visualisation de nombres en ordre croissant illustrant les chiffres composés et premiers.

Références

Tomlinson, Z. (2018, Nov. 28). The Incredible Importance of Prime Numbers in Daily LifeInteresting Engineering.