La combinatoire

Introduction

À la base, les mathématiques décrivent les relations entre des nombres et d’autres quantités mesurables. Elles constituent le langage des sciences. Il est donc essentiel de les comprendre pour bien saisir les concepts appartenant à ce domaine.

Les mathématiques se divisent en de nombreuses branches plus fascinantes les unes que les autres. Dans ce document d'information, nous examinerons comment on s’en sert pour analyser des arrangements d’objets. C'est ce qu'on appelle la combinatoire. Nous espérons que vous pourrez ainsi voir ce domaine scientifique sous un jour tout à fait nouveau!

La combinatoire est une branche des mathématiques qui permet de déterminer le nombre de combinaisons possibles d’objets en ensembles et en sous-ensembles.

La combinatoire

La combinatoire est une branche des mathématiques qui permet de déterminer le nombre de combinaisons possibles d’objets en ensembles et en sous-ensembles.

Le principe multiplicatif

Le principe multiplicatif sert à compter les différentes manières de combiner des objets sans se soucier de leur ordre. Voici une question type :

Dans un restaurant, on offre cinq types de soupe et quatre types de sandwich. Combien de repas différents composés d’une soupe et d’un sandwich peut-on offrir aux clients?

Selon le principe multiplicatif, si un premier événement (ici, le choix d’un type de soupe) peut se produire de x façons et si un deuxième événement (ici, le choix d’un type de sandwich) peut se produire de y façons, les deux événements peuvent se produire ensemble de z façons (x fois y). En d’autres mots, il suffit de multiplier les possibilités.

Pour répondre à la question ci-dessus, il faut multiplier le nombre de soupes possibles (x = 5) par le nombre de sandwichs possibles (y = 4) pour obtenir le nombre de combinaisons possibles (x · y, ou 5 x 4 = 20).

(Remarque : on peut employer un point comme celui utilisé ci-dessus (·) au lieu du symbole de multiplication « x ». Cela peut s’avérer utile quand on se sert de lettres comme le « x » pour représenter des quantités inconnues.)

Le principe multiplicatif s’applique également s’il y a plus de deux événements. On peut en voir un exemple à la question 1.

Voici un autre exemple. Supposons que nous ayons un cadenas, comme ceux qu’on trouve sur les valises ou certaines chaînes de vélo, doté de trois roulettes affichant les nombres de 0 à 9 (voir la figure 2). Combien de combinaisons à trois chiffres pourrait-on créer?

La première roulette (le premier événement) offre dix possibilités (0 à 9, x = 10), tout comme la deuxième (y = 10) et la troisième (z = 10). Utilisant le principe multiplicatif, et présumant que n’importe quel chiffre peut apparaître sur n’importe quelle roulette, on obtient x · y · z = 10 x 10 x 10 = 1 000. Il y a donc mille combinaisons possibles, soit mille différents agencements de trois chiffres, ce qui devrait rendre la vie difficile aux voleurs qui tenteraient de s’emparer du vélo ou du contenu de la valise!

Voici un autre exemple : supposons qu’Abdul, Bianca, Cho et David forment une équipe d’élèves en ronde finale d’élimination du Défi Parlons sciences. L’épreuve compte quatre questions (1, 2, 3 et 4), et chaque élève doit répondre à une seule d’entre elles. Dans combien d’ordres différents les élèves peuvent-ils répondre tour à tour aux questions?

Ils pourraient procéder par ordre alphabétique : Abdul répondrait à la question 1, Bianca à la question 2, etc. Ce pourrait aussi être Cho qui commence, suivi de Bianca, etc. L’énumération des possibilités une à une peut rapidement devenir ennuyeuse…

Voici une façon de faire qui prendra beaucoup moins de temps. Quatre élèves (Abdul, Bianca, Cho et David) peuvent répondre à la question 1. Quand l’équipe aura décidé qui passe en premier, cette personne ne pourra répondre à aucune autre question. Cela veut dire qu’il restera trois élèves pour la question 2. Il n’y aura plus que deux élèves pour la question 3, et le dernier devra s’occuper de la question 4. Si on utilise le principe multiplicatif, on peut dire qu’il y a 4 · 3 · 2 · 1 = 24 ordres différents dans lesquels les élèves peuvent répondre aux questions.

Ce principe peut servir à calculer une foule de choses. Si par exemple vous aimez prévoir lesquels de vos cinq chandails favoris vous porterez à l’école chaque jour d’une semaine donnée, de combien de manières pouvez-vous les empiler de façon à porter le premier le lundi, le deuxième le mardi, le troisième le mercredi, le quatrième le jeudi et le cinquième le vendredi? Si on utilise le principe multiplicatif, on peut dire qu’il y a 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 façons d’empiler vos chandails pour la semaine. Vive la diversité!

Maintenant que vous avez compris le principe, nous aimerions vous apprendre un autre terme et vous donner un petit truc d’écriture mathématique. Les produits comme ceux que nous avons vus ci-dessus (9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1, par exemple), où tous les chiffres sont en ordre décroissant jusqu’à 1, portent le nom de « factorielles ». Au lieu d’écrire 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1, on peut simplement écrire « 9! », ce qui prend beaucoup moins d’espace sur une feuille. On peut aussi dire « factorielle 9 », « factorielle de 9 » ou « 9 factorielle ». Dans l’exemple avec nos amis Abdul, Bianca, Cho et David, nous aurions donc pu dire qu’il y avait 4! = 24 (factorielle 4) possibilités. De même, pour les chandails, on aurait écrit 5! (5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120) possibilités.

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