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Introduction à l’algèbre

Boîte vide avec point d’interrogation

Boîte vide avec point d’interrogation (Dilen_ua, iStockphoto)

Boîte vide avec point d’interrogation

Boîte vide avec point d’interrogation (Dilen_ua, iStockphoto)

Découvre l’histoire de l’algèbre et comment résoudre des équations avec des variables.

Qu’est-ce que l’algèbre?

Nous sommes entourés de nombres inconnus. Imagine un sac de chips fermé. Sais-tu combien il y a de chips à l’intérieur? Sans ouvrir le sac pour compter les chips, tu ne le sais probablement pas. Un sac fermé contient donc un nombre inconnu de chips.

A bag of potato chips
Un sac de chips. (Source : OpenClipart-Vectors via Pixabay.)
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Illustration stylisée d’un sac de chips. Le sac est ouvert et plusieurs chips se trouvent autour et sur le dessus du sac. Le mot « chips » est inscrit sur le sac.

Il y a beaucoup d’exemples de nombres que nous ne connaissons pas. Imagine que tu montes sur une balance pour peser une valise. Tu connais ton propre poids et le poids total, mais tu ne connais pas encore combien pèse la valise. Ou imagine que tu travailles comme gardien ou gardienne d’enfants. Tu sais peut-être combien d’argent tu gagnes par heure, mais tu ne sais probablement pas combien d’argent tu gagneras cette année.

Nous appelons ces valeurs inconnues des variables. Mais que se passe-t-il si nous voulons déterminer la valeur de certaines de ces variables? Heureusement, il existe une branche entière des mathématiques qui peut nous aider. C’est ce qu’on appelle l’algèbre. En algèbre, nous travaillons avec des nombres inconnus pour résoudre des problèmes.

Le savais-tu?

Le mot « algèbre » vient du mot arabe al-jabr. Ce terme se traduit par « réunion de parties brisées ».

Comme beaucoup de bonnes idées, l’algèbre n’a pas été élaborée par une seule personne. Au fil des ans, plusieurs civilisations différentes ont contribué à l’élaboration de l’algèbre. Cela inclut la Babylonie, l’Égypte, la Grèce, la Chine et l’Inde.

De nombreuses personnes considèrent le mathématicien persan Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi comme le père de l’algèbre. Au IXe siècle à Bagdad, il a combiné et amélioré les idées des générations précédentes. Il a écrit un livre célèbre qui continue d’influencer les techniques que nous utilisons aujourd’hui.

Statue of Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi in Uzbekistan where he was born
Statue de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi en Ouzbékistan, où il est né.(Source : Yunuskhuja Tuygunkhujaev [CC BY-SA 4.0] via Wikimedia Commons).
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Photo en couleur d’une statue en bronze à l’extérieur, près d’une mosquée. La statue représente un homme incliné portant un turban et de longues robes amples. Il se soutient de la main gauche et tient dans sa main droite un morceau de tissu. Son front est marqué de profonds sillons, ce qui suggère qu’il réfléchit très sérieusement à quelque chose.

Écrire des équations avec des inconnues

En algèbre, des lettres sont utilisées pour représenter des valeurs inconnues. Par exemple, on pourrait dire qu’il y a x chips dans le sac décrit au début de cet article. Dans ce cas-ci, « x » représente le nombre de chips. Les lettres représentent des nombres que nous ne connaissons pas encore.

Le savais-tu?

La variable x est souvent utilisée en algèbre parce que le terme arabe « quelque chose » a été traduit par la lettre grecque chile terme arabe (χ). Celle-ci a ensuite été remplacée par la lettre latine x.

Nous utilisons des variables dans des équations. Une équation est une façon d’exprimer que deux choses sont égales. On peut considérer les côtés gauche et droite d’une équation comme les deux côtés d’une balance. Le signe d’égalité montre que les deux côtés ont la même valeur.

Exemple 1

Imagine une balance avec d’un côté 3 pommes et de l’autre côté un sac en papier avec des pommes à l’intérieur. Combien de pommes y a-t-il dans le sac en papier?

Tu sais peut-être instinctivement qu’il y a 3 pommes dans le sac. Nous pouvons décrire le nombre de pommes dans le sac à l’aide d’une équation comme celle-ci :

x = 3

La lettre x est un emplacement réservé pour un nombre inconnu de pommes. Nous pouvons également utiliser toute autre lettre, par exemple :

b = 3 ou y = 3

Balance avec un sac en papier d’un côté et trois pommes de l’autre côté
Balance avec un sac en papier d’un côté et trois pommes de l’autre côté (Parlons sciences utilise des images d’ AWesleyFloyd via iStockphoto et de SurfUpVector via iStockphoto).
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier suspendu sur le côté gauche et trois pommes empilées en une pyramide sur le côté droit. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.

 

Exemple 2

Essaie maintenant d’écrire une équation pour le schéma de droite.

Ce schéma nous indique que les pommes dans le sac plus une autre pomme sont équivalentes à quatre pommes.

Nous pouvons exprimer cette situation à l’aide de l’équation suivante.

x + 1 = 4

Balance avec un sac en papier et une pomme d’un côté et quatre pommes de l’autre côté
Balance avec un sac en papier et une pomme d’un côté et quatre pommes de l’autre côté (Parlons sciences utilise des images d’AWesleyFloyd via iStockphoto et de SurfUpVector via iStockphoto).
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier et une pomme suspendus sur le côté gauche et quatre pommes sur le côté droit. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.

Exemple 3

Q1: Écris une équation qui représente le schéma suivant.

Balance avec un sac en papier et deux pommes d’un côté et six pommes de l’autre côté
Balance avec un sac en papier et deux pommes d’un côté et six pommes de l’autre côté (Parlons sciences utilise des images d’AWesleyFloyd via iStockphoto et de SurfUpVector via iStockphoto).
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier et deux pommes suspendus sur le côté gauche et six pommes sur le côté droit. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.

Résoudre des équations avec des inconnues

Maintenant que nous avons écrit des équations avec des inconnues, nous allons les résoudre. Résoudre une équation algébrique signifie trouver le nombre que la variable représente. Pour ce faire, nous isolons la variable. Cela signifie que nous voulons que la variable soit la seule valeur d’un côté de l’équation. Par exemple, dans l’exemple 1, la variable est isolée. Le x est seul d’un côté de la balance. Il est donc facile de voir que x est égal à 3.

Balance avec un sac en papier d’un côté et trois pommes de l’autre côté
Balance avec un sac en papier d’un côté et trois pommes de l’autre côté (Parlons sciences utilise des images d’AWesleyFloyd via iStockphoto et de SurfUpVector via iStockphoto).
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier suspendu sur le côté gauche et trois pommes empilées en une pyramide sur le côté droit. Un « x » est inscrit sur le sac en papier et le chiffre 3 est inscrit sur les pommes. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.

Isolons la variable de l’exemple 2. Imaginons que nous déplaçons l’unique pomme visible du plateau gauche vers le plateau droit. Nous pouvons représenter cela en utilisant la soustraction. Pour que la balance reste égale, nous devons suivre l’une des règles les plus importantes de la résolution d’équations algébriques. Il faut toujours faire la même action des deux côtés de l’équation.

Ainsi, si nous soustrayons 1 du côté gauche, nous devons également soustraire 1 du côté droit.

X + 1 = 4

X + 1 - 1 = 4 - 1

X = 3

Balance avec un sac en papier et une pomme d’un côté et quatre pommes de l’autre côté
Balance avec un sac en papier et une pomme d’un côté et quatre pommes de l’autre côté (Parlons sciences utilise des images d’AWesleyFloyd via iStockphoto et de SurfUpVector via iStockphoto).
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier suspendu sur le côté gauche et trois pommes empilées en une pyramide sur le côté droit. Au-dessus de la partie gauche de la balance se trouve une pomme et un signe moins. Une pomme et un signe moins se trouvent également au-dessus du côté droit de la balance. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.

Q2: Utilise ce même processus pour isoler la variable de l’exemple 3 (x + 2 = 6). Conseil : Jette un coup d’œil au schéma si tu as besoin d’aide.

Dans ces deux cas, nous avons utilisé la soustraction pour isoler la variable. En effet, les deux équations originales impliquaient une addition. L’addition et la soustraction sont des opérations opposées. La multiplication et la division sont également des opérations opposées.

Plus and minus, multiply and divide are opposite operations
Additionner et soustraire, ainsi que multiplier et diviser sont des opérations opposées (©2021 Parlons sciences).
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Illustration en couleur d’opérations opposées. La rangée du haut comporte un signe d’addition et un signe de soustraction de couleur verte avec une flèche à double extrémité entre les deux. La rangée du bas comporte un signe de multiplication et un signe de division de couleur bleue avec une flèche à double extrémité entre les deux.

Cela nous amène à notre prochaine règle de résolution des équations algébriques. Il faut utiliser l’opération inverse pour isoler une variable dans une équation.

Essayons d’utiliser l’opération inverse dans une autre équation : 2c = 10. Cette équation implique une multiplication. L’opposé de la multiplication est la division. Cela signifie que nous devons diviser les deux côtés par la même valeur, soit le nombre par lequel la variable est multipliée. La division annule la multiplication du côté gauche de l’équation.

2c = 10 

2c ÷ 2 = 10 ÷ 2

c = 5

Essaie cette même méthode pour isoler les variables dans les équations suivantes.

Q3: x - 3 = 12

Q4: z ÷ 7 = 10

Résoudre des équations plus complexes

Ce processus est encore plus utile lorsque nous devons résoudre des équations complexes. Les équations complexes impliquent plus d’une opération. Nous pouvons utiliser exactement les mêmes règles que celles que nous avons apprises. Cependant, nous devrons répéter le processus plusieurs fois.

Par exemple, résolvons cette équation : 3x + 2 = 14. Il y a deux opérations dans cette équation, la multiplication et l’addition. Comme nous annulons des opérations, nous utilisons la règle PEMDAS dans l’ordre inverse. Cela signifie que nous annulons d’abord l’addition, puis la multiplication.

3x + 2  = 14

3x + 2 - 2 = 14 - 2

3x = 12

3x ÷ 3 = 12 ÷ 3

X = 4

Essaie de résoudre quelques-uns de ces problèmes complexes par toi-même. Rappelle-toi les étapes suivantes.

  1. Utilise la règle PEMDAS dans l’ordre inverse pour déterminer par quelle opération il faut commencer.
  2. Utilise l’opération opposée pour annuler l’opération qui est appliquée à la variable.
  3. Fais la même chose pour les deux côtés de l’équation.
  4. Répète les étapes 1 à 3 jusqu’à ce que la variable soit isolée.

Q5: 5a - 3 = 22

Q6: (h + 4) ÷2 = 8

L’algèbre et les situations de la vie courante

Nous pouvons utiliser l’algèbre pour résoudre toutes sortes de problèmes de la vie courante. C’est là que l’algèbre devient utile. La première étape, qui est souvent la plus difficile, consiste à écrire un problème sous forme d’une équation algébrique. Une fois que tu as écrit l’équation, tu peux la résoudre en utilisant la même méthode que celle ci-dessus. Essayons le problème suivant.

Sofia ouvre un compte chèque et dépose 20 $. Chaque semaine, elle ajoute 5 $ supplémentaires. Combien de semaines lui faudra-t-il pour épargner 300 $ ?

Girl with piggy bank
Jeune fille avec une tirelire. (Source : Tomwang112 via iStockphoto.)
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Photo en couleur d’une jeune fille asiatique tenant une tirelire. Elle est debout devant un tableau vert comportant un gros signe de dollar et un signe d’égalité à gauche, et un signe plus avec plusieurs petits signes de dollar à droite.

Dans ce problème, notre valeur inconnue est le nombre de semaines. Utilisons la lettre « w » pour représenter le nombre de semaines qu’il faudra à Sofia pour économiser 300 $. Maintenant, exprimons cette situation sous forme d’équation. Sofia commence avec 20 $. Chaque semaine, elle ajoute 5 $. Cela signifie qu’elle se retrouvera avec 20 $ auquel on ajoute 5 $ multipliés par le nombre de semaines. Nous pouvons écrire l’équation comme suit :

20 + 5w = 300

Maintenant, calculons le nombre de semaines.

20 + 5w = 300

20 + 5w -20 = 300 -20

5w = 280

W = 56

Cela signifie qu’il faudra 56 semaines à Sofia pour économiser 300 $ à ce rythme.

Essaie le même procédé pour résoudre la question 7.

Q7: M. Morales prévoit acheter des biscuits pour ses 120 élèves. Les biscuits sont vendus par paquet de 10. Il a déjà 1 paquet de biscuits sur son bureau. Combien de paquets additionnels devra-t-il acheter pour être sûr d’avoir suffisamment de biscuits? Écris une équation et résouds-la.

Ces mêmes méthodes peuvent être utilisées pour résoudre un grand nombre de problèmes complexes. Les scientifiques utilisent l’algèbre pour représenter des situations en langage mathématique. C’est également la base dans d’autres domaines des mathématiques, tels que la géométrie et le calcul. L’algèbre est la base pour calculer la vitesse d’un objet qui tombe, faire des prévisions météorologiques et déterminer la quantité d’énergie nécessaire au fonctionnement des robots en origami. Maintenant que tu sais comment utiliser ce puissant mode de pensée, qui sait ce que tu vas découvrir !

RÉPONSES
  1. X + 2 = 6
  2. X + 2 -2 = 6 -2
    X = 4
  3. X - 3 = 12
    X - 3 + 3 = 12 + 3
    X = 15
  4. Z ÷ 7 = 10
    Z ÷ 7 x 7 = 10 x 7
    Z = 70
  5. 5a - 3 = 22
    5a - 3 +3 = 22 +3
    5a = 25
    5a ÷ 5 = 25 ÷ 5
    A = 5
  6. (h + 4) ÷ 2 = 8
    (h + 4) ÷ 2 x 2 = 8 x 2
    H + 4 = 16
    H + 4 -4 = 16 - 4
    H = 12
  7. 10p + 10 = 120
    10p + 10 -10 = 120 - 10
    10p ÷ 10 = 110 ÷ 10
    p = 11
    M. Morales doit acheter 11 autres paquets de biscuits.

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Références

Math Is Fun (n.d.). Solving Equations.

Nethravati, C. (2020, October 27). The History of Algebra. Cuemath. Retrieved from https://www.cuemath.com/learn/mathematics/algebra-history-of-algebra/

Shery, B. (n.d.). Thank You For Algebra: Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi. Khan Academy. Retrieved from https://www.khanacademy.org/humanities/big-history-project/expansion-interconnection/x5d2ce072:8-3/a/thank-you-for-algebra-muhammad-ibn-musa-al-khwarizmi

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