Introduction à l’algèbre
Boîte vide avec point d’interrogation (Dilen_ua, iStockphoto)
Découvre l’histoire de l’algèbre et comment résoudre des équations avec des variables.
Qu’est-ce que l’algèbre?
Nous sommes entourés de nombres inconnus. Imagine un sac de chips fermé. Sais-tu combien il y a de chips à l’intérieur? Sans ouvrir le sac pour compter les chips, tu ne le sais probablement pas. Un sac fermé contient donc un nombre inconnu de chips.
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Illustration stylisée d’un sac de chips. Le sac est ouvert et plusieurs chips se trouvent autour et sur le dessus du sac. Le mot « chips » est inscrit sur le sac.
Il y a beaucoup d’exemples de nombres que nous ne connaissons pas. Imagine que tu montes sur une balance pour peser une valise. Tu connais ton propre poids et le poids total, mais tu ne connais pas encore combien pèse la valise. Ou imagine que tu travailles comme gardien ou gardienne d’enfants. Tu sais peut-être combien d’argent tu gagnes par heure, mais tu ne sais probablement pas combien d’argent tu gagneras cette année.
Nous appelons ces valeurs inconnues des variables. Mais que se passe-t-il si nous voulons déterminer la valeur de certaines de ces variables? Heureusement, il existe une branche entière des mathématiques qui peut nous aider. C’est ce qu’on appelle l’algèbre. En algèbre, nous travaillons avec des nombres inconnus pour résoudre des problèmes.
Le savais-tu?
Le mot « algèbre » vient du mot arabe al-jabr. Ce terme se traduit par « réunion de parties brisées ».
Comme beaucoup de bonnes idées, l’algèbre n’a pas été élaborée par une seule personne. Au fil des ans, plusieurs civilisations différentes ont contribué à l’élaboration de l’algèbre. Cela inclut la Babylonie, l’Égypte, la Grèce, la Chine et l’Inde.
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Photo en couleur d’une statue en bronze à l’extérieur, près d’une mosquée. La statue représente un homme incliné portant un turban et de longues robes amples. Il se soutient de la main gauche et tient dans sa main droite un morceau de tissu. Son front est marqué de profonds sillons, ce qui suggère qu’il réfléchit très sérieusement à quelque chose.
Écrire des équations avec des inconnues
En algèbre, des lettres sont utilisées pour représenter des valeurs inconnues. Par exemple, on pourrait dire qu’il y a x chips dans le sac décrit au début de cet article. Dans ce cas-ci, « x » représente le nombre de chips. Les lettres représentent des nombres que nous ne connaissons pas encore.
Le savais-tu?
La variable x est souvent utilisée en algèbre parce que le terme arabe « quelque chose » a été traduit par la lettre grecque chile terme arabe (χ). Celle-ci a ensuite été remplacée par la lettre latine x.
Nous utilisons des variables dans des équations. Une équation est une façon d’exprimer que deux choses sont égales. On peut considérer les côtés gauche et droite d’une équation comme les deux côtés d’une balance. Le signe d’égalité montre que les deux côtés ont la même valeur.
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier suspendu sur le côté gauche et trois pommes empilées en une pyramide sur le côté droit. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier et une pomme suspendus sur le côté gauche et quatre pommes sur le côté droit. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.
Exemple 3
Q1: Écris une équation qui représente le schéma suivant.
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier et deux pommes suspendus sur le côté gauche et six pommes sur le côté droit. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.
Résoudre des équations avec des inconnues
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier suspendu sur le côté gauche et trois pommes empilées en une pyramide sur le côté droit. Un « x » est inscrit sur le sac en papier et le chiffre 3 est inscrit sur les pommes. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.
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Illustration en couleur d’une balance utilisée comme analogie d’une équation algébrique. La balance en bronze comporte un sac en papier suspendu sur le côté gauche et trois pommes empilées en une pyramide sur le côté droit. Au-dessus de la partie gauche de la balance se trouve une pomme et un signe moins. Une pomme et un signe moins se trouvent également au-dessus du côté droit de la balance. Entre les deux côtés de la balance se trouve un gros signe d’égalité bleu.
Q2: Utilise ce même processus pour isoler la variable de l’exemple 3 (x + 2 = 6). Conseil : Jette un coup d’œil au schéma si tu as besoin d’aide.
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Illustration en couleur d’opérations opposées. La rangée du haut comporte un signe d’addition et un signe de soustraction de couleur verte avec une flèche à double extrémité entre les deux. La rangée du bas comporte un signe de multiplication et un signe de division de couleur bleue avec une flèche à double extrémité entre les deux.
Cela nous amène à notre prochaine règle de résolution des équations algébriques. Il faut utiliser l’opération inverse pour isoler une variable dans une équation.
Essayons d’utiliser l’opération inverse dans une autre équation : 2c = 10. Cette équation implique une multiplication. L’opposé de la multiplication est la division. Cela signifie que nous devons diviser les deux côtés par la même valeur, soit le nombre par lequel la variable est multipliée. La division annule la multiplication du côté gauche de l’équation.
2c = 10
2c ÷ 2 = 10 ÷ 2
c = 5
Essaie cette même méthode pour isoler les variables dans les équations suivantes.
Q3: x - 3 = 12
Q4: z ÷ 7 = 10
Résoudre des équations plus complexes
Ce processus est encore plus utile lorsque nous devons résoudre des équations complexes. Les équations complexes impliquent plus d’une opération. Nous pouvons utiliser exactement les mêmes règles que celles que nous avons apprises. Cependant, nous devrons répéter le processus plusieurs fois.
Par exemple, résolvons cette équation : 3x + 2 = 14. Il y a deux opérations dans cette équation, la multiplication et l’addition. Comme nous annulons des opérations, nous utilisons la règle PEMDAS dans l’ordre inverse. Cela signifie que nous annulons d’abord l’addition, puis la multiplication.
3x + 2 = 14
3x + 2 - 2 = 14 - 2
3x = 12
3x ÷ 3 = 12 ÷ 3
X = 4
Essaie de résoudre quelques-uns de ces problèmes complexes par toi-même. Rappelle-toi les étapes suivantes.
- Utilise la règle PEMDAS dans l’ordre inverse pour déterminer par quelle opération il faut commencer.
- Utilise l’opération opposée pour annuler l’opération qui est appliquée à la variable.
- Fais la même chose pour les deux côtés de l’équation.
- Répète les étapes 1 à 3 jusqu’à ce que la variable soit isolée.
Q5: 5a - 3 = 22
Q6: (h + 4) ÷2 = 8
L’algèbre et les situations de la vie courante
Nous pouvons utiliser l’algèbre pour résoudre toutes sortes de problèmes de la vie courante. C’est là que l’algèbre devient utile. La première étape, qui est souvent la plus difficile, consiste à écrire un problème sous forme d’une équation algébrique. Une fois que tu as écrit l’équation, tu peux la résoudre en utilisant la même méthode que celle ci-dessus. Essayons le problème suivant.
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Photo en couleur d’une jeune fille asiatique tenant une tirelire. Elle est debout devant un tableau vert comportant un gros signe de dollar et un signe d’égalité à gauche, et un signe plus avec plusieurs petits signes de dollar à droite.
Dans ce problème, notre valeur inconnue est le nombre de semaines. Utilisons la lettre « w » pour représenter le nombre de semaines qu’il faudra à Sofia pour économiser 300 $. Maintenant, exprimons cette situation sous forme d’équation. Sofia commence avec 20 $. Chaque semaine, elle ajoute 5 $. Cela signifie qu’elle se retrouvera avec 20 $ auquel on ajoute 5 $ multipliés par le nombre de semaines. Nous pouvons écrire l’équation comme suit :
20 + 5w = 300
Maintenant, calculons le nombre de semaines.
20 + 5w = 300
20 + 5w -20 = 300 -20
5w = 280
W = 56
Cela signifie qu’il faudra 56 semaines à Sofia pour économiser 300 $ à ce rythme.
Essaie le même procédé pour résoudre la question 7.
Q7: M. Morales prévoit acheter des biscuits pour ses 120 élèves. Les biscuits sont vendus par paquet de 10. Il a déjà 1 paquet de biscuits sur son bureau. Combien de paquets additionnels devra-t-il acheter pour être sûr d’avoir suffisamment de biscuits? Écris une équation et résouds-la.
Ces mêmes méthodes peuvent être utilisées pour résoudre un grand nombre de problèmes complexes. Les scientifiques utilisent l’algèbre pour représenter des situations en langage mathématique. C’est également la base dans d’autres domaines des mathématiques, tels que la géométrie et le calcul. L’algèbre est la base pour calculer la vitesse d’un objet qui tombe, faire des prévisions météorologiques et déterminer la quantité d’énergie nécessaire au fonctionnement des robots en origami. Maintenant que tu sais comment utiliser ce puissant mode de pensée, qui sait ce que tu vas découvrir !
RÉPONSES
- X + 2 = 6
- X + 2 -2 = 6 -2
X = 4 - X - 3 = 12
X - 3 + 3 = 12 + 3
X = 15 - Z ÷ 7 = 10
Z ÷ 7 x 7 = 10 x 7
Z = 70 - 5a - 3 = 22
5a - 3 +3 = 22 +3
5a = 25
5a ÷ 5 = 25 ÷ 5
A = 5 - (h + 4) ÷ 2 = 8
(h + 4) ÷ 2 x 2 = 8 x 2
H + 4 = 16
H + 4 -4 = 16 - 4
H = 12 - 10p + 10 = 120
10p + 10 -10 = 120 - 10
10p ÷ 10 = 110 ÷ 10
p = 11
M. Morales doit acheter 11 autres paquets de biscuits.
En savoir plus
La résolution d'équations algébriques : méthode de la balance
Cette vidéo youtube d'Alloprof explique comment utiliser la méthode de la balance pour résoudre une expression algébrique.
Why is 'x' the unknown? | Terry Moore
Ce Ted Talk par Terry Moore explique l'histoire de la raison pour laquelle la lettre "x" représente les inconnues en mathématiques. Pour accéder aux sous-titres français, cliquez sur paramètres puis sur sous-titres, enfin choisissez l'option français.
Expressions algébriques
Cet article d'Alloprof explique les différentes parties d'une expression algébrique et les conventions pour les écrire.
Les opérations sur les expressions algébriques
Cet article d'Alloprof explique comment utiliser les opérations sur une expression algébrique.
Références
Math Is Fun (n.d.). Solving Equations.
Nethravati, C. (2020, October 27). The History of Algebra. Cuemath. Retrieved from https://www.cuemath.com/learn/mathematics/algebra-history-of-algebra/
Shery, B. (n.d.). Thank You For Algebra: Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi. Khan Academy. Retrieved from https://www.khanacademy.org/humanities/big-history-project/expansion-interconnection/x5d2ce072:8-3/a/thank-you-for-algebra-muhammad-ibn-musa-al-khwarizmi